“变式”主要是指对例题､习题进行变通推广,重新认识.恰当合理的变式能营造一种生动活泼､宽松自由的氛围,既开阔学生的视野,激发学生的情趣,又有助于培养学生的探索精神和创新意识,并能使学生举一反三､事半功倍.笔者在教学实践中发现,有些教师对变式的“度”把握不准确,不能因材施教,单纯地为了变式而变式,给学生造成了过重的学习和心理负担,使学生产生了逆反心理,“高投入､低产出”,事倍而功半.下面结合具体实例,就变式要注意的几个问题谈几点个人的看法.
一､变式要在原例习题的基础上进行,要自然流畅,不能“拉郎配”,要有利于学生通过引申题目的解答,加深对所学知识的理解和掌握
如在学习均值不等式“a,b∈R+,≥ ab(当且仅当a = b时取“=”号)”的应用时,给出了如下的例题及变式:
例1 已知x > 0,求y = x +的最小值.
变式1 当x < 0时,求y = x +的最小值.
变式2 当x ≥ 2时,求y = x +的最小值.
变式3 当x ≥时x2 + 1的最小值是1吗?
变式提升:
1. x∈R时,函数y = x +有最小值吗?为什么? 讨论x ≠ 0时,y = x +的最值情况.
2. 已知x ≥ 3,求x +的最小值;
3. 求y = 2 + 3x +的最小值(其中x > 1).
4. 求y = x(1 - 2x)的最大值(其中0 < x <).
由该例题及三个变式及三个变式提升的解答,使学生加深了对定理成立的三个条件“一正､二定､三相等”的理解与掌握,为定理的正确使用及综合使用打下了较坚实的基础.
变式要限制在学生思维水平的“最近发展区”上,变式题目的解决要在学生已有的认知基础之上,并且要结合教学的内容､目的和要求,要有助于学生对本节课内容的掌握.
如在练习定理“a,b∈R+,≥ ab(当且仅当a = b时取“=”号)”的应用时,把变式3改为:当x ≥时,求x2 + 1的最小值,则显得有些不妥.因为本节课的重点是让学生熟悉不等式的应用,而解答变式3不但要指出函数的最小值不是1,而且还要借助于函数的单调性求出最小值,这样本堂课就要用不少时间去证明单调性,“干扰”了“不等式应用”这一“主干”知识的传授,但若作为课后思考题让学生去讨论,则将是一种较好的设计.
二､变式要有梯度,循序渐进,切不可搞“一步到位”,否则会使学生产生畏难情绪,影响问题的解决,降低学习的效率
如在利用数学归纳法证明几何问题时,课本给出了习题:平面内有n(n ≥ 2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数为f(n) =. 在证明的过程中,引导学生注意观察f(k)与f(k + 1)的关系有f(k + 1) - f(k) = k,从而给出:
变式1平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,求这n条直线共有几个交点?
此变式自然恰当,变证明为探索,使学生在探索f(x)或f(k + 1)的关系的过程中得到了答案,而且巩固加深了对数学归纳法证明几何命题的一般方法的理解和掌握. 类似地还可以给出:
变式2 平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,该n条直线把平面分成f(n)个区域,则f(n + 1) = f(n) + _________.
变式3 平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,该n条直线把平面分成f(n)个区域,求f(n).
上述变式3在变式1与变式2的基础上很容易掌握,但若没有变式1与变式2而直接给出变式3,学生解决起来就非常困难,对树立学生的学习信心是不利的,从而也降低了学习的效率.
三､提倡让学生参与题目的变式
变式并不是教师的“专利”,教师必须转变观念,发扬教学民主,师生双方密切配合,交流互动,只要是学生能够变式的,教师绝不包办代替.学生变式有困难的,可在教师的点拨与启发下完成,这样可以调动学生学习的积极性,提高学生参与创新的意识.如在学习向量的加法与减法时,有这样一个习题:
已知向量a,b,求作向量c,使得a + b + c = 0. 表示 a,b,c 的有向线段能构成三角形吗?
在引导学生给出解答后,教师提出如下思考:
① 你能用文字叙述该题吗? 通过讨论,畅所欲言､补充完善,会有
变式1 如果三个向量首尾连接可以构成三角形,且这三个向量的方向顺序一致(顺时针或逆时针),则这三个向量的代数和为零向量.
② 大家再讨论一下,这个结论是否只对三角形适合? 通过讨论学生首先想到对四边形适合,从而有
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