第5节　探索性问题

第5节　探索性问题

【考点展示】1．          2．②  3．①④【提示】①根据直线与平面平行的判定定理可证；④∵ ， 是 的中点，∴ .

同理： ，又 ,∴ 平面 .

而 、 分别是 、 的中点，∴ ∥ ，∴ 平面 ，

又 平面 ，∴平面 ⊥平面 .

4． 简解：由题意得 ，故 ，     ，

，    ……… ，

以上 个等式累加，得 ，

所以 .故 .

5．①，③，⑤【简解】令 ，排除②④；由 ，命题①正确； ，命题③正确； ，

命题⑤正确.

6．4； .

【解】由题中信息可知：无论正方形是沿着 轴的

正方向还是负方向滚动，再次使点 与 轴接触

的 轴方向的路程是4，故其最小正周期为4；

在正方形的翻滚过程中，函数 的两个

相邻零点间点 的轨迹如图所示.

故其与 轴所围区域的面积为

.

【简解】设 ，则  即

∴ .

6． 【简解】由 得 ，故半圆的圆心 ，半径 ．设圆 与直线 的交点 ．

由于直线 过定点 ，如图，直线 与圆相交；直线 与圆相切, 为切点．当直线 介于直线 与 之间时，

它与曲线 ： 有两个交点．

当直线 与圆相切时， ，解得 ，即 ．

又因为直线 的斜率 ，所以实数 的取值范围是 ．

7． 【简解】由题意知函数 为增函数且 .

若 ，由复合函数的单调性可知 和 均为增函数，此时不符合题意；

当 时，有 ，

因为函数 在 上的最小值为2，所以 ，解得 .

8.（1）由 ，得

，

所以函数 的最小正周期为 .

因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又

，所以函数 在区间 上的最大值为2，最小值为-1.

（2）解：由（1）可知 ，又因为 ，所以 .

由 ，得 ，从而 ，

所以

.

9．（1）椭圆 与 相似. 因为椭圆 的特征三角形是腰长为4，底边长为 的等腰三角形，而椭圆 的特征三角形是腰长为2，底边长为 的等腰三角形，所以两个等腰三角形相似，且相似比为 : .

（2）椭圆 的方程为： .

假定存在，设点 、 所在直线为 ， 中点为 .

则 消去 ，得 ，所以 ， .

因为 的中点 在直线 上，所以 ，解得 .

所以 ，

故 .

（3）椭圆 的方程为： .两个相似椭圆之间的性质有：                       

①两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；

②分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；

③两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. 

10．（1） ，

当 时， ，

令 得， .

当 变化时， 的变化情况如下表：

所以函数 在 和 上是增函数，

函数 在区间 和 上是减函数.

（2） ，显然 不是方程 的根，

因 仅在 处有极值，故方程 有两个相等的实根或无实根，

所以 ，解此不等式，得 ，

这时， 是唯一极值， 因此满足条件的 的取值范围是 .

（3）由（2）知，当 时， 恒成立，

当 时， 在区间 上是减函数，

因此函数 在 上最大值是 ，   

又∵对任意的 ，不等式 在 上恒成立，∴ ，

即 ，于是 在 上恒成立，∴ 即 .

因此满足条件的 的取值范围是 ．