江苏省南通市2014届高三第三次调研测试
数学学科
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1． 已知集合 ， ，则 ▲ ．
【答案】
2． 已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 ▲ ．
【答案】
3． 袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取
出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ．
【答案】
4． 平面 截半径为2的球 所得的截面圆的面积为 ，
则球心 到平面 的距离为 ▲ ．
【答案】
5． 如图所示的流程图，输出 的值为3，则输入x的值为 ▲ ．
【答案】1
6． 一组数据 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ．
【答案】
7． 在平面直角坐标系 中，曲线 的离心率为 ,且过点 ,则曲线 的标准方程
为 ▲ ．
【答案】
8． 已知函数 对任意的 满足 ，且当 时， ．若 有4个零点，则实数 的取值范围是 ▲ ．
【答案】
9. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为 ▲ ．
【答案】8
10． 在直角三角形 中， =90°， ， ．若点 满足 ，则 ▲ ．
【答案】10
11．已知函数 的图象如图所示，则 ▲ ．
【答案】
12．在平面直角坐标系 中，圆C的方程为 ．若直线
上存在一点 ，使过 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 的取值范围是 ▲ ．
【答案】
13．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若 ， ，且 ，则
数列{bn}的公比为 ▲ ．
【答案】
14．在△ABC中，BC= ，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点
在直线AB的两侧）．当 变化时，线段CD长的最大值为 ▲ ．
【答案】3
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．
【证】（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，
因为 平面CDEF， 平面CDEF，
所以AB∥平面CDEF．……………………… 4分
因为 平面ABFE，平面 平面 ，
所以AB∥EF． …………………………… 7分
（2）因为DE⊥平面ABCD， 平面ABCD，
所以DE⊥BC． …………………………… 9分
因为BC⊥CD， ， 平面CDEF，
所以BC⊥平面CDEF． …………………………… 12分
因为BC 平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF． …………………………… 14分
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ， ．
（1）求 的值；
（2）求函数 的值域．
【解】（1）因为 ，所以 ． …………………………… 3分
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ． …………………………… 6分
（2）因为 ，所以 ， …………………………… 8分
所以 ．
因为 ，所以 ． …………………………… 10分
因为 ，…… 12分
由于 ，所以 ，
所以 的值域为 ． …………………………… 14分
17．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆
弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧
的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设 （弧度），将绿化带总长度表示为 的函数 ；
（2）试确定 的值，使得绿化带总长度最大．
【解】（1）如图，连接 ，设圆心为 ，连接 ．
在直角三角形 中， ， ，
所以 ．
由于 ，所以弧 的长为 ． ……………………3分
所以 ，
即 ， ． ……………………………7分
（2） ， ……………………………9分
令 ，则 ， ……………………………11分
列表如下：
所以，当 时， 取极大值，即为最大值． ……………………………13分
答：当 时，绿化带总长度最大． ……………………………14分
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的离心率为 ，过椭圆右焦点 作
两条互相垂直的弦 与 ．当直线 斜率为0时， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求 的取值范围．
【解】（1）由题意知， ， ，
所以 ． ……………………………2分
因为点 在椭圆上，即 ，
所以 ．
所以椭圆的方程为 ． ……………………………6分
（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知 ； ……………………………7分
② 当两弦斜率均存在且不为0时，设 ， ，
且设直线 的方程为 ，
则直线 的方程为 ．
将直线 的方程代入椭圆方程中，并整理得 ，
所以 ， ，
所以 ． ……………………………10分
同理， ．
所以 ， ………………………12分
令 ，则 ， ， ，
设 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
综合①与②可知， 的取值范围是 ． ……………………………16分
19．已知函数 在 时取得极小值．
（1）求实数 的值；
（2）是否存在区间 ，使得 在该区间上的值域为 ？若存在，求出 ， 的值；
若不存在，说明理由．
【解】（1） ，
由题意知 ，解得 或 ． …………………………… 2分
当 时， ，
易知 在 上为减函数，在 上为增函数，符合题意；
当 时， ，
易知 在 上为增函数，在 ， 上为减函数，不符合题意．
所以，满足条件的 ． …………………………… 5分
（2）因为 ，所以 ． …………………………… 7分
① 若 ，则 ，因为 ，所以 ． …………… 9分
设 ，则 ，
所以 在 上为增函数．
由于 ，即方程 有唯一解为 ．…………………………… 11分
② 若 ，则 ，即 或 ．
（Ⅰ） 时， ，
由①可知不存在满足条件的 ． …………………………… 13分 （Ⅱ） 时， ，两式相除得 ．
设 ，
则 ，
在 递增，在 递减，由 得 ， ，
此时 ，矛盾．
综上所述，满足条件的 值只有一组，且 ．……………………………16分
20．各项均为正数的数列{an}中，设 ， ，
且 ， ．
（1）设 ，证明数列{bn}是等比数列；
（2）设 ，求集合 ．
【解】（1）当 时， ，
即 ，解得 ． ……………………………2分
由 ，所以 ①
当 时， ②
①-②，得 （ ），……………………………4分
即 ，
即 ，所以 ，
因为数列{an}的各项均为正数，所以数列 单调递减，所以 ．
所以 （ ）．
因为 ，所以 ，
所以数列{bn}是等比数列． ……………………………6分
（2）由（1）知 ，所以 ，即 ．
由 ，得 （*）
又 时， ，所以数列 从第2项开始依次递减． …………8分
（Ⅰ）当 时，若 ，则 ，
（*）式不成立，所以 ，即 ． ……………………………10分
令 ，则 ，
所以 ，即存在满足题设的数组 （ ）．……… 13分
（Ⅱ）当 时，若 ，则 不存在；若 ，则 ；
若 时， ，（*）式不成立．
综上所述，所求集合为 （ ）． ………………16分
（注：列举出一组给2分，多于一组给3分）
南通市2014届高三第二次调研测试
数学Ⅱ（附加题）
21A．选修4—1：几何证明选讲
如图，圆 的两弦 和 交于点 ， ， 交 的
延长线于点 ．求证：△ ∽△ ．
【解】因为 ，所以 ， ………………3分
又 ，所以 ， ………………6分
又 ，所以△ ∽△ ． ………………10分
21B．选修4—2：矩阵与变换
若矩阵 把直线 变换为另一条直线 ，试求实数 值．
【解】设直线 上任意一点 在矩阵 作用下的点 的坐标为 ，
则 ，所以 ……………………………4分
将点 代入直线 ，
得 ．
即直线 的方程为 ．
所以 ． ……………………………10分
21C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 经过点P（0，1），曲线 的方程为 ，若直线
与曲线 相交于 ， 两点，求 的值．
【解】设直线 的参数方程为 （ 为参数， 为倾斜角）
设 ， 两点对应的参数值分别为 ， ．
将 代入 ，
整理可得 ．………5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）
所以 ． ……………………………10分
21D．选修4—5：不等式选讲
已知 ， ， ， ．求证 ．
【证明】因为 ， ，所以 ，所以要证 ，
即证 ．
即证 ， ……………………………5分
即证 ，
而 显然成立，
故 ． ……………………………10分
22．在平面直角坐标系 中，已知定点F（1，0），点 在 轴上运动，点 在 轴上，点
为平面内的动点，且满足 ， ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设点 是直线 ： 上任意一点，过点 作轨迹 的两条切线 ， ，切点
分别为 ， ，设切线 ， 的斜率分别为 ， ，直线 的斜率为 ，求证：
．
【解】（1）设点 ， ， ．
由 可知，点 是 的中点，
所以 即 所以点 ， ．
所以 ， ． …………3分
由 ，可得 ，即 ．
所以动点 的轨迹 的方程为 ．……………5分
（2）设点 ，
由于过点 的直线 与轨迹 ： 相切，
联立方程 ，整理得 ．…………7分
则 ，
化简得 ．
显然， ， 是关于 的方程 的两个根，所以 ．
又 ，故 ．
所以命题得证． ……………………………10分
23．各项均为正数的数列 对一切 均满足 ．证明：
（1） ；
（2） ．
【证明】（1）因为 ， ，
所以 ，
所以 ，且 ．
因为 ．
所以 ，
所以 ，即 ． ……………………………4分
（注：用反证法证明参照给分）
（2）下面用数学归纳法证明： ．
① 当 时，由题设 可知结论成立；
② 假设 时， ，
当 时，由（1）得， ．
由①，②可得， ． ……………………………7分
下面先证明 ．
假设存在自然数 ，使得 ，则一定存在自然数 ，使得 ．
因为 ， ，
，…， ，
与题设 矛盾，所以， ．
若 ，则 ，根据上述证明可知存在矛盾．
所以 成立． ……………………………10分
