一、抽象函数的含义及特点
在中学数学中有很多函数是以列表，图象及解析式等具体形式出现的，也有一类函数只是给出函数所具有的某些性质和运算法则，既没有列表和图像，又没有具体的函数解析式，比较抽象，给人一种无从下手的感觉，我们把这种函数称为抽象函数。
抽象函数具有概念抽象、构思新颖、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高等特点。抽象函数常常集函数性质、图象、定义域与值域等问题于一身，既能考察函数的概念及性质，又能考察学生的数学思维能力。由于抽象函数的解析式隐含不露，表面高度抽象，使得解决此类问题时往往很棘手。因此，它是中学数学函数部分的难点。
二、抽象函数的常见解题方法
实际上，抽象函数并不是我们想象的那样困难，它必定脱胎于中学数学中常见的具体初等函数。我们只要根据题设给出的特征式，结合中学常见的初等函数，必然能发现熟悉的印记。因此在解决这类问题时，只要我们认真分析，善于联想，能根据所给条件，通过类比、观察、猜想等概括出它是由哪一种基本函数抽象而来的，再根据这种模型函数的相关性质来预测，猜想出抽象函数可能具备的性质及结论，变抽象为具体、变陌生为熟知。
处理这类以基本函数为模型的抽象函数常用方法有：赋值、代换、定义、图象等。特别指出，研究抽象函数的两大法宝就是适当地赋值和代换。
三、常见题型分析及解题策略
在近几年的高考试题中不断出现对抽象函数的考查，已经成为高考的热点问题，又由于问题本身的抽象性和它性质的隐蔽性，不少同学感到束手无策。下面通过对这类问题的常见题型分析，以期对同学们对这类问题的求解有所启发。
1. 求定义域问题
求定义域问题是高考的常见问题，一般有两种类型：
（1） 已知 的定义域，求 的定义域；
（2） 已知 的定义域，求 的定义域。
例1.若函数y = 的定义域是[－2，2]，则函数y = + 的定义域为 。
分析：因为x+1和x-1相当于 中的x，所以
解得
变式:已知函数 的定义域是[-1，1]，求函数 的定义域?
分析：，因为函数的定义域是指函数的自变量x而言的，所以，函数 的定义域是[-1，1]是指： .由于 x-1相当于 中的x,所以函数
的定义域为[-2，0].所以
解题策略：1.求抽象函数的定义域问题,实际上就是以函数的定义为背景.这类问题只要紧紧抓住两点:
(1).函数的定义域是指函数自变量x的取值范围;
(2).复合函数的特点：即将函数 中的 看作 中的x这一特性.
2. 求值域问题
例2． 若函数 的值域为 ，求函数 的值域。
分析：函数 中定义域与对应法则与函数 的定义域与对应法则完全相同，故函数 的值域也为 。
解题策略：解决抽象函数的值域问题：
函数的值域是由函数的定义域、对应法则决定，因此，只需考查抽象函数的定义域、对应法则即可求得值域。
3．周期性与求值问题
例3. 设 是R上的奇函数，且 ，求 的值。
分析：因为 ，所以 ，故6是函数 的一个周期。又 是奇函数，且在x＝0处有定义，所以 =0从而 。
解题策略：
1．解决此类问题有几个关键：
（1）由题设得周期，如例3中由 ，得6是该函数的一个周期；
（2）若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则必有f(0)=0；、
（3）巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。如例4中通过观察已知与未知的联系，取 ，这样便把已知条件 与欲求的 沟通了起来。
2. 抽象函数周期性
一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 = ，那么函数 就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
三个常见结论：若a，b是非零常数，且a≠b，则有
结论1（递推式与周期关系结论）
⑴若 ； ⑵若 ；
⑶若 ； ⑷若 。
结论2（对称性与周期关系结论）
⑴ ;
⑵ ;
⑶
结论3(奇偶性与周期关系结论)
⑴
⑵
(本文中的T为函数的周期,但不一定是最小正周期)
4. 奇偶性问题
一般地，如果对于函数 定义域内的任意一个x，都有 或 ，则称 为这一定义域内的奇函数或偶函数。奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。
例4. (1)已知函数 对于任意实数x、y满足 ,判断 的奇偶性。
(2)已知函数 对于任意实数x、y满足 ,判断 的奇偶性。
(3)已知函数 对于任意实数x、y满足 ,判断 的奇偶性。
(4)已知函数 对于任意实数x、y满足 ,( ≠0), 判断 的奇偶性。
分析：（1）令y=-x,则 ;再令y=x=0，得 =0；即0= ,即 =- 。∴ 是奇函数。
（2）令y=-1，得 ,又 ,即 。
∴ 是偶函数.
(3)令y=-1，得 ,又 , 即 。
∴ 是偶函数.
(4)令x=0,得 ,再令x=y=0,可得 =1,
∴ 是偶函数.
解题策略：这是对函数性质的考查，解决此类问题时,只要根据奇偶函数的定义，抓住f（x）与f（-x）的关系，通过已知条件中的等式进行变量赋值 (因x、y是任意实数),就不难解决。
5．对称性问题
例5．定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有 成立，若 仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )
分析：由已知函数f(x)的图象有对称轴x＝ ，于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.，即有一个根就是 ，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝ 对称。利用中点坐标公式，这100个根的和等于 ×100＝150。所以有101个根的和为 ×101＝ .
解题策略：
1.关于函数对称性问题，实际上是考查函数的图像、性质问题。
2.常见对称：
(1) ,即函数 关于y轴对称；
(2) , 即函数 关于原点(0,0)对称；
(3) ,即函数 关于直线x=a对称；
(4) ,即函数 关于点(a,0)对称。
6．单调性问题
一般地，设函数 的定义域为I：如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时（x1＞x2），都有 （ ），那么就说 在这个区间上是增函数（减函数）。
例6.已知偶函数 在[0,+∞]上是增函数，解不等式 。
分析一：（1）当 时，x-1＜0,1-2x≥0,由于 ，故原不等式即为 ，再由 在[0,+∞]上递增,得1-x>1－2x，即0＜x≤ 。
（2）当 ＜x≤1时，x-1≤0，1－2x<0，从而1-x≥0，2x－1>0，故原不等式可化为 ，所以1－x>2x－1，即 ＜x＜ 。
（3）当x>1时，x－1>0，1－2x<0，由 ,得x－1>2x－1，即x<0这与x>1矛盾。
综合(1)、(2)、(3)得原不等式的解为0＜x＜ 。
解析二：由题意可知： ，解之得0＜x＜ 。
解题策略：
1.利用单调性可以求解函数的值域、最值、递增（减）区间、解不等式等问题。
2.在例8中判断函数f(x)的奇偶性和单调性是关键；例9中解不等式 ，必须设法去掉符号“f”，而去掉符号“f ”只能依据 的单调性。当然，也可考虑运用特殊化的思想方法，即用一个满足条件的具体函数，代替抽象函数，使问题迎刃而解。这种特殊化方法在解客观题时优势特别明显。
7．求解析式问题
例7. ①已知 求 ；
②若 ，求函数 .
分析：①是形如 求 的问题，常用配方（配湊）或代换法解决，尤以整体代换为多；②中的 与 互为相反数，通过代换将其化为 和 的方程组求解.互为倒数的两式也有类似的作法.
解：①令 则 ， ， 从而
.
②令 则有 ……⑴
再以 代换 ，得 ……………………………⑵
解⑴、⑵组成的方程组，得 ，即 .
解题策略：代换法，即将抽象函数性质中的变量进行适当的代换，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，使问题得到解决，是抽象函数问题的又一求解方法.
总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良好的效果。
参考书目：
[1]陈睿.关于抽象函数的一点思考[J].考试周刊，2008(15).
[2]周华生.抽象函数问题的解法(上)[J].中等数学，2005(2).
[3]周华生.抽象函数问题的解法(下)[J].中等数学，2005(3).
[4]琚国起，新题征展（58）[J]，中学教学，2004[10]；
[5]丁明忠，2004年各地高考试题评析[J]，数学通讯，2004（11）；
[6]钱行，关于抽象函数的竞争赛[J]，中学生数学，2001（10）；
