专题五　立体几何

专题五　立体几何

第1节　立体几何综合应用

【考点展示】1. 0.5   2.   3. ②④    4. 3    5.     6.   

【考点演练】1.   2.    3. ②④   4. ②③   5. ①③④   6.    7. 2:1

8. （1）在△PAD中，因为E、F分别为

AP，AD的中点，所以EF//PD.

又因为EF 平面PCD，PD 平面PCD，

所以直线EF//平面PCD.

（2）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，

所以△ABD为正三角形，因为F是AD的

中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面

ABCD，BF 平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因为BF 平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

9．（1）证明:连结BD.在长方体 中，对角线 .

又  E、F为棱AD、AB的中点， ， .                           

又B₁D₁ 平面 ， 平面 ，   EF∥平面CB₁D₁.    

（2）  在长方体 中， ⊥平面 ，而 平面

 AA₁⊥B₁D₁.又 在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.                 

又  B₁D₁ 平面CB₁D₁， 平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

（3）最小值为  

如图，将正方体六个面展开，从图中 到 ，两点之间线段最短，而且依次经过棱 、 、 、 、 上的中点，所求的最小值为

10.（1） ，

（2）当点 为 的中点时， 平面 。

理由如下： 点 分别为 、 的中点， 。

平面 ， 平面 ， 平面

（3） 平面 ， 平面    , 是矩形， ， ， 平面 ， 平面

，点 是 的中点， ，又 ， 平面

平面

第2节　空间向量与立体几何

【考点展示】1.   2. 或   3.   4.

【考点演练】1．以A为坐标原点，建立如图1所示的直角坐标系，

则 ．设 ，

易知 ．

设 是平面 的一个法向量，

则

令 ，则 ．

　　又 是平面 的一个法向量，

∴ ．

结合条件知可取 ，

故 ，解得 或 （舍）．

故当 是CD的中点时， ．

2. 假设在直线 上存在一点Ｎ，使得 ．如图，建立空间直角坐标系，有 ，

∴ ．∵ ，

∴ ，

解得 ， ，即 时， ．

3. （1） （2）

4.（1）因为直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

BB₁⊥面ABC，∠ABC＝ ．

以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，

所以 ，

设AF＝x，则F(，0，x)，

.

，所以        

要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F.

由 ＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，

故当AF＝1或2时，CF⊥平面B₁DF．

（2）由（1）知平面ABC的法向量为n₁=（0，0，1）.    

设平面B₁CF的法向量为 ，则由 得

令z=1得 ，

所以平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值