垂直习题课

课    题

§8.4　直线、平面垂直的判定与性质（1）

课时

第_____课时

教学目标

知识目标：1.考查垂直关系的命题的判定；2.考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质；3.考查平行和垂直的综合问题；

过程与方法：小组合作交流，学生互教，老师引导

情感态度与价值观 ：培养空间想象能力，逻辑思维能力和转化思想，感受数学的严谨性及数学结论的确定性；

教学重点

垂直关系的命题的判定

教学难点

平行和垂直的综合问题

教学准备

板书设计

教  学  过  程  设  计

自主学习

1．直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法

①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．

(2)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．

2．平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法

①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

(2)平面与平面垂直的性质

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

 3．垂直问题的转化关系

题型分类

题型一　直线与平面垂直的判定与性质

例1 　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.

证明　(1)在四棱锥P—ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.

 (2012·陕西)(1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的射影，若a⊥b，则a⊥c”为真；

(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．

(1)证明　如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.

因为PO⊥π，a⊂π，

所以直线PO⊥a.

又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b＝P，

所以a⊥平面PAO.又c⊂平面PAO，所以a⊥c.

(2)解　逆命题为a是平面π内的一条直线，

b是π外的一条直线(b不垂直于π)，

c是直线b在π上的射影，若a⊥c，则a⊥b.

逆命题为真命题．

题型二　平面与平面垂直的判定与性质

例2 　(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁B₁＝A₁C₁，D，E分别是棱BC，CC₁上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC₁B₁；

(2)直线A₁F∥平面ADE.

证明　(1)因为ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC₁⊥AD.又因为AD⊥DE，CC₁，DE⊂平面BCC₁B₁，CC₁∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC₁B₁.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC₁B₁.

(2)因为A₁B₁＝A₁C₁，F为B₁C₁的中点，所以A₁F⊥B₁C₁.因为CC₁⊥平面A₁B₁C₁，且A₁F⊂平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁F.

又因为CC₁，B₁C₁⊂平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁＝C₁，所以A₁F⊥平面BCC₁B₁.

由(1)知AD⊥平面BCC₁B₁，所以A₁F∥AD.又AD⊂平面ADE，A₁F⊄平面ADE，

所以A₁F∥平面ADE.

 (2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.

证明　(1)如图，在△PAD中，

因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，

PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.

(2)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．

因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

题型三　线面、面面垂直的综合应用

例3 　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.

(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；

(2)求四棱锥P—ABCD的体积．

 (1)证明　在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4，∴AD²＋BD²＝AB².∴AD⊥BD.

又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD.

又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD.

(2)解　过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝2.

在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．

在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，此即为梯形的高．∴S_{四边形ABCD}＝×＝24.∴V_P—ABCD＝×24×2＝16.

作业布置

教学反思