从江苏五年高考试卷看向量的复习

徐州二中教科室  吴杞霄

关键词：向量 高考试卷 高考复习

摘要：今年江苏高考数学试卷向量题得分较低，学生感觉向量的复习并不得法。本文从分析江苏五年的高考卷入手，探求向量的试题特点，并对今后的高考向量复习给予建议。

     每年江苏的高考数学试卷基本可分为送分题、抢分题和神仙都不会做的题。向量部分一向被看成送分题。但今年不少考生却抱怨向量复习了一遍又一遍，高考中却依旧没有拿到分，向量几乎成为事倍功半的代名词。向量真的难以复习吗？还是复习的着力点不对呢？让我们翻开江苏五年的高考试卷找找答案吧!

江苏自课改后共进行了五年高考，五年的试卷都有向量，但考试难度却是渐进提高。08年江苏高考，向量只有一个题目“已知向量 和 的夹角为 ， ，则 　　  ”这是一个考察向量的数量积的题目，出奇的简单，只要代入公式就可以了，不需要任何变化。

09年向量出了一大一小两个题，小题仍是数量积，大题是综合第一题，题目为“设向量 （1）若 与 垂直，求 的值；（2）求 的最大值;（3）若 ，求证： ∥ .”“这一题貌似问的很多，又涉及向量的平行、垂直、数量积、坐标等知识，还和三角函数综合在一起，分值也增长了近三倍。但略一思考就发现题目还是在套公式，三个小题难度都不大，而且小题之间互不影响，多数学生还是能得到满分。

转折出现在2010年，这一年江苏高考卷特别难，有的学生只做到第8题就做不下去了。向量只考了一个大题“在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)，（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长，（2）设实数t满足( )· =0，求t的值.” 现在看来这是一个中等难度题，第一问先算向量的加减，再由坐标求向量的模，第二问考的是向量的坐标运算和数量积。可当时因为大家都习惯了向量的简单题，由于考点骤然增多，而且几个考点合在一起关联度很强，难度加大不少，不少学生做不出来。

或许10年的题目出得难了一些，11年的考题做了调整，向量只考了一个中等小题。“已知 是夹角为 的两个单位向量，  若 ，则k的值为     ”这一题考察了向量的数量积与垂直问题，只需先求 ，再利用 就可以求出k值，学生们又拾回了信心。

这道题有两种方法。一种建立坐标系，以A为原点，则B(  ,0),设F(x,0),利用 ，求得F点为DC的中点，从而 ，但这样做，好多学生想不到建系，；另一种利用向量的加减法将向量转换，即将所求的 向 、 和 转化，也就是   ，这种方法在高考练习中出现的较少，复习的也不到位，即使有学生想到这种方法，也未必做得出。大题是15题“在 中，已知 ．（1）求证： ；（2）若 求A的值”第一问利用向量的数量积将其变形为三角函数，并不难，第二问三角函数难度较大，好多人做不出来。

 从五年的分析不难看出，向量的考查难度确实在逐步加大，新题型也不断出现。高考复习时同学们常会遇到向量的许多偏题、怪题，如果眉毛胡子一把抓，平均使用力量，那就真的是事倍功半了。但如果从试卷中我们可以总结出几个规律，则能为高考复习带来帮助：

首先，抓牢一个必考知识点：向量的数量积。这是向量部分唯一的“C”级考点，五年高考试卷都可见到它的影子，估计以后的高考试卷一定还会考。复习时一定要把握好，不仅数量积的公式 本身要记牢，而且公式放到三角形、矩形的环境中也要会用。

其次，重视三个常考知识点：向量的平行与垂直、向量的坐标、向量的模。，在五年的试卷中，平行与垂直出现了四次，坐标出现了三次，模出现了两次，这三个都是向量的核心知识点，以后的高考估计还会再考，而且可能会综合在一起考，希望复习时要多安排练习。

再者，把握向量考察的两个趋势。（1）向量与三角函数相结合。现在江苏卷的大题第一题往往是以向量作为条件，引出三角函数问题。比如“已知向量 =（sinθ，-2）与向量 =（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，π/2） （1）求cosθ和sinθ （2）若sin（θ-β）= /10，0＜β＜π/2，求cosβ。”这种题融合了向量与三角函数的知识，向量虽不难，但如果向量做错则三角函数也就报销了。（2）向量自身的加减转换。比如“△ABC中，∠BAC= ,AB=2,AC=1,D是BC上一点，DC=2BD,则 =     .”这样的题就是把所求向量利用加减法向已知向量或垂直向量转化，从而利用向量的特殊性解出结果。这类题出现的时间不长，但现在很流行。有些学生不知道转化成哪些向量，有些学生不熟悉向量的加减法，所以这类题已成为向量的难点，也应成为复习的重点。

最后，有三类题不考，复习时可以淡化。一是不考偏题，比如复习时有关单位向量、零向量有很多概念题、技巧题，学生记不住就会错，但高考中基本就没见过这样的题。二是不考计算量大的题，向量题侧重于知识与方法，计算一般都不长，五六步即可出结果。三是不考陷阱，向量复习题中是有一些陷阱的，比如“ =(1,m), =(2,4),若a与b的夹角是锐角，求m的范围。”这个题好多学生总忘记排除 与 共线的情况，是易错题，但这样的题高考也从未考过。

综上可以看出向量在复习阶段一要打好基础，向量的加减、向量的坐标、向量的平行与垂直、向量的数量积是向量复习的重点，一定要公式清晰，运用灵活。二要结合向量的考试趋势加以复习，多做向量与三角函数结合的题目，还有向量的图形转化类题目，目前这两类题目复习题还不太多，希望大家遇到了就不要轻易放过，不但要研究题目，更要研究思路。三是对于大量繁琐的计算题、易错题了解即可，不必深究，向量只考中等难度题，偏题、怪题不考。

总之，如果大家在向量复习中要详略得当，如果能注意到这两重点、一忽略，向量复习起来相信就不会那么累了。