在阅读中学习，在探究中拓展
——新课程“探究·拓展”的阅读与提升
黄芳 江苏省徐州市第二中学
江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书（必修）数学将习题设计为“感受·理解”、“思考·运用”和“探究·拓展”，“探究·拓展”中常出现阅读题，阅读它们，既可以提高数学阅读能力，拓展数学知识，又能发展数学思维。这些阅读题主要有以下几种类型。
一、 信息迁移类
【例1】（必修一）对于集合 ，我们把集合 记作 ,例如， 则有 ,据此，试解答下列问题：
（1） 已知 ，求
（2） 已知 ，求集合
（3） 若 有3个元素， 有4个元素，试确定 有几个元素
这类问题常在题目中给定一些新信息，如新的概念、新的关系、新的运算等，要求学生通过对新信息的阅读、接受和理解，并与已有认知结构中的知识进行同化，探索获取有用的信息，从而创造性的解决问题。这类问题在必修的教科书的“探究·拓展”中多次出现，同时它也是高考试题中“抢眼”的一种题型，既有小题又有大题，突出考查学生的探究能力、创新意识和继续学习的潜能，体现了较好的育人和评价功能。
【例1.1】（08年陕西文12）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入有关数据组成传输信息。设定原信息为 ，传输信息为 其中 运算规则为： ，例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（ ）A11010 B01100 C10111 D00011
【例1.2】(07年上海文20)如果有穷数列 （m为正整数）满足条件 即 我们称其为“对称数列”。例如：数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”。
（1） 设 是7项的“对称数列”，其中 是等差数列，且 ，依次写出 的每一项；
（2） 设 是49项的“对称数列”，其中 是首项为1，公比为2的等比数列，求 各项的和S；
（3） 设 是100项的“对称数列”，其中 是首项为2，公差为3的等差数列，求 前n项和
解：(1)数列 为2，5，8，11，8，5，2
（2）S=
（3） 由题意： 是首项为149，公差为-3的等差数列
当 时，
当 时，
二、 规律的归纳总结
【例2】（必修五）在已知两边 和一边的对角 ，求角 时，如果 为锐角，那么可能出现以下情况： 无解； 一解； 两解； 一解
如果 为钝角，那么可能出现哪几种情况？试画出草图加以说明。
在高中数学学习中，教师常带领学生对同一类型问题进行归纳总结，并希望给出规律以帮助学生更好记忆，如三角部分的诱导公式就有口诀“奇变偶不变，符号看象限”，而上例既帮助师生归纳了已知两边及一边对角为锐角时，求另一边对角的解的情况，又在此基础上提出“若已知角为钝角呢”这一新的问题，让同学们类比思考，有助于学生能够尽快学会自己进行规律等的归纳总结，提高自我的归纳水平。
三、 题目的辨析
【例3】（1）(必修五)甲、乙同学分别解“ ，求函数 的最小值”的过程如下：
甲： 即 的最小值是
乙： 在 上单调递增， 的最小值是
试判断谁错？错在何处？
（2）（必修三）将本节例3改为：在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在 内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM AC的概率，则 ,故满足条件的概率为
本节例3为：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的斜率
(1)是同一问题不同解法正误的对比辨析，通过辨析找到错因，能使同学深刻认识到均值不等式的使用要求“一正二定三相等”；（2）是相近相似问题却要采取不同解题策略。这样的阅读题既值得学生阅读，发现问题，加深对相关数学知识的理解，提高解决相应数学问题的能力；又给学生以启示，在日常学习中做个有心人，注重一题多解，分辨相似题型的不同解题策略。这样的阅读题也让教师思考，可在教学中尝试通过一些阅读题引导学生思维由浅入深，达到教学目标。
四、理化生中的应用
【例4】（必修一）对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过对数转换，可以简化运算过程。例如，1，10，100，1000，…成10倍增长，取常用对数后就变为0，1，2，3，4，…。我们再来看物理学中的一个例子。声强是表示声波强度的物理量，可用公式 表示，其中 表示声速， 和 分别是声波的频率和振幅， 是媒质的密度。由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入了声强级的概念，规定声强级 .通常规定 （相当于频率为1000Hz时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的 就是声强 的量度，式中声强级的单位称为贝尔。实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的 作单位，这就是分贝（dB）： （dB）。当被测量的声强 为声强 的100倍时，声强级 为多少分贝？
伽利略说过“数学是科学的大门和钥匙”，作为工具性学科的数学学科与其它学科的联系非常密切，数学知识的多角度应用将是一个十分重要的研究课题，这不仅能大大提高学生学习的兴趣和分析、解决问题的能力，也能拓展教师复合型教学的思维空间。
五、 数学史知识的渗入
【例5】（必修五）南宋时期的数学家秦九韶发现得求三角形面积的“三斜求积”公式 （与古希腊数学家海伦给出的三角形面积公式 其中 ），其证明已经失传，吴文俊教授根据我国古代几何证明的传统特点作了一个补证（过程详见课本）。你能用正弦定理和余弦定理证明“三斜求积”公式或海伦公式吗？
引入数学史知识，把渗透数学文化和考查数学知识相结合，使枯燥呆板的试题变得活泼，有利于激发学生的学习兴趣；了解数学家是如何遭遇挫折又是如何执著追求的故事，可以增强学生学习数学的信心。数学史的渗入可以从“探究·拓展”开始！
六、 高等数学知识的出现
【例6】（必修二）假设半径为 的圆的面积为 ，推出圆的周长公式 （推导过程详见课本），用类似的方法证明：假设半径为 的球的体积为 ，推出球的面积公式 。
本阅读题在推导公式时运用了类比的思想，应用高等数学的知识——夹逼定理。在高考数学试题中，也出现了一些以高等数学中的知识为背景而用初等数学的语言来表述，或者可以直接用高等数学知识来解决的问题，认真研究问题的来龙去脉，了解初、高等数学之间的关系，对复习备考大有裨益。
【例6.1】（08江苏）满足条件 的 的面积的最大值是
本题如果采用常规解法十分复杂，计算繁琐。在阿波罗尼斯的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B设P点在同一平面上且满足 ,当 大于0且 时，P点的轨迹是个圆。”这个圆我们称为阿波罗尼斯圆。本题若能知晓点C的轨迹实为阿波罗尼斯圆，就很容易想到以AB为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，通过求点C的轨迹方程得到点C到x轴的距离的最大值。
【例6.2】（06年四川）已知函数 ， 的导数是 ，对任意两个不等的正数 ，证明：（1）当 时，
（2）当 时，
证明：（2）设 ，则由 得 ， ， ， 在 上是单调递增函数
为此欲证（2）成立只需证明 即 成立即可。构造函数 ，求导可得 ， ，
在 上是单调递增函数，
∴原不等式得证
解法二：（利用拉格朗日中值定理：如果函数 定义在闭区间 上而且是连续的，在开区间 内存在有限导数 ，那么在 与 之间至少存在一点 ，满足等式
（1）
当 时，显然有 ，说明函数为凸函数，
（2）不妨设 ，由拉格朗日中值定理知，存在常数 使得
为此欲证明 ，只需证明 即可
由 知
只需证明 ，转化为证明 ，
而 原不等式得证。
对于解法二学生并不清楚拉格朗日中值定理，但作为一名高中数学教师，不仅要通晓教材和解题技巧，还应掌握高等数学与初等数学的内在联系，多运用高等数学的方法解释一些初等数学中的问题，并在高等数学与初等数学的衔接上尝试用高等数学知识编一些不脱离中学实际的创新习题，开阔学生的视野，培养学生的思维品质。
高中学生数学自主学习能力的培养策略
徐州市第二中学 宋远娜、鲍士波
近年来，由于重点高中的招生规模不断扩大，普通中学学生的素质特别是数学素质越来越低.在十来年的数学教学工作中，我深感普通高中学生在数学学习中的困惑与艰难，同时也看到学生学习极其缺乏自主性.他们大多倾向于让教师上课多讲，也比较重视记笔记，但对发言、讨论却并不太积极.学生被动学习，不会学习,“教师讲，学生听；教师写，学生抄；教师拨一拨，学生动一动”.学生学得苦，教师教得累，教学效率低下.这既影响学生的身心健康 ，又妨碍学生的个性发展.随着课改不断深入，各地规范办学的相关文件出台,我们也必须改变以往简单增加教学课时的做法.那么,如何摆脱这种“教师讲，学生听；教师写，学生抄；教师拨一拨，学生动一动”的现状呢？
反思当前的教学，我认为必须改进教学方法，培养学生自主学习的能力，使学生学会学习.唯其如此，学生才能学得主动，学得轻松，学生的个性、特长才能自由发展，学生的素质才能全面提高，真正实现由“应试教育”向“素质教育”的转轨.
1.徐州二中高中学生自主学习的现状调查及分析
本次调查的目的是通过对徐州市第二中学的部分学生的自主学习情况的调查，了解学生自主学习的现状.对影响学生自主学习的因素，如自我效能感，主动意识，目标设置与计划、学习动机、自我监控与调节、学习策略、自我评价等影响自主学习因素进行调查分析，从而为帮助学生改进学习方式，提高自主学习效果，培养学生自主学习能力提供依据.
1.2调查的工具与样本
1.工具：本调查以庞维国著的《自主学习一学与教的原理和策略》一书中的《学习自主性量表测验题本》为蓝本，根据数学学习的特点和普通高中学生的特点,参阅有关资料自编了调查问卷.编好之后先进行少部分学生的预测，然后与被测学生进行座谈，得到一些反馈信息，又请教了许多有教学经验的老教师，最后进行了进一步修改.力求做到题目编制尽量体现简明、扼要、易操作的原则，同时保证测试的有效性和可信度.
2.调查样本选择：选取徐州市第二中学高二年级6个班学生为调查对象，其中男生143人，女生168人.发放问卷311份，当场收回问卷305份，有效率98.07%.
3．调查时间：2009年10月上旬.
1. 对数学学习的动机的分析
自主学习有别于各种形式的他主学习，它是学生积极、主动、自觉地从事和管理自己的学习活动.因此，良好的学习动机能促使学习者自主学习的开展和持续.
调查显示，仅有9.9%的学生对数学非常感兴趣，48.2%的学生有时感兴趣，另有37.2%的人认为课堂上学习的东西是用来应付考试.究其原因是以“以考为本”，“以教师为中心”，把学生当作“容器”，进行单向灌输，久而久之，学生变得具有惰性，一味地被动学习，数学学习方式缺乏独立性和主动性，积极性不强，没有学习兴趣和正确的知识观，自主学习只能是教育者的一相情愿；在主动意识方面，当问及“你希望课堂上教师采取何种方式教学”时，高达48%的学生希望老师讲解越详细越好，这说明将近半数的学生课堂上对教师高度依赖，缺乏主动学习、合作学习的意识.对于“在课堂上，你对老师〔或教材上)的例题解法的态度”，有41.9%的学生仅满足于听(看)懂解法而不做进一步思考.如果老师不布置作业，仅有8.2%的同学自己能主动看书或找习题做.对于可做可不做的选做题，有38.2%的学生选择放弃； 有43.3% 的学生对凭自己的能力可以学好数学产生怀疑，81%的学生在学习时常感到力不从心.由此看出，学生面对具有挑战的学习任务时，常常对自己产生怀疑，进而回避，自我效能感较低.更有35.5%的同学把自己数学学习不好的原因归因为“反应慢，数学能力欠缺”.因此，要想促进学生的自主学习，改善学习质量，要把增强数学学习的动机作为一项重要目标.
2.对数学学习内容的选择和学习时间的安排的分析
调查表的第8、24、38、58题是针对学生选择学习任务而设计.调查发现，78%的学生希望自习课的学习任务能由自己安排.但在实际中，有60%的学生认为自习课被老师所决定，教师过多的干扰了学生的自我安排.常此以往，学生就会被教师牵着鼻子走，弱化了学生自我选择、自我安排的能力.调查还显示70%的学生会为自己制定学习目标计划，但仅有12.5%的人能很好的执行，有58%的学生制定计划目标但执行时大打折扣，还有30%的学生根本没有计划.这反映出许多学生在学习中还是盲目行事，自我监控能力缺乏.在学习时间的管理上44.7%的学生学习时间的长短经常受到学习状态的影响（如：心情好，有兴趣，学习时间延长；疲劳时，有厌学情绪时，学习时间缩短）.46.3%的学生只有临近考试时才系统复习以前学习的知识，15.5%的学生“今天的学习任务没能完成，留到明天去完成”.这表明相当一部分学生缺乏合理的时间计划和时间管理能力.
3.对数学学习方法的分析
从统计数字可以看出：64.5%学生能够注意到学习策略，也很想了解一些学习方法、学习策略，但相当一部分学生的学习策略缺乏科学性，只会依赖于过去形成的学习策略与习惯，这无形中影响了自己学习的进步和发展.调查发现：
（1）忽视课前预习，课后复习不到位
预习是上课前对将要上的内容进行阅读，了解其概要，做到心中有数，以便掌握听课的主动权，目的是提高听课效率，但表4中反映仅有10%的学生能做到课前预习，48.9%的学生只有在老师有布置的情况下才预习.仅有24.6%的学生检查预习效果.复习是把学过的知识进行再学习，以达到融会贯通、牢固掌握的目的.而通过调查统计来看，课后经常复习的学生人数仅为15.1%，多数学生只在有空时或为了应付考试才复习.
（2）忽视对所学知识的总结整理
从信息论角度看，学习实质的主体部分好比是信息的输入、储存、提取的过程，其信息储存越有序、越系统化，信息的提取越容易.而重视对知识归类整理过程就是让学生自己在主动理解学习内容的基础上，找出重点、关键并加以精练概括，构建成新的知识结构过程,也是学生对所学知识进行系统、有序储存的过程.因此，它直接影响着学生学习的效率.从表4调查统计显示，仅有14.7％的学生上完课能总结出本节课的内容；有42.8％的学生只是偶尔整理、总结，也就是说，学生总体缺乏对所学知识的自主整理与总结.
（3）笔记整理使用不当
从调查中看出27.5%％的学生对重点内容做一些笔记；39.8%的学生偶尔记下重要内容，但在个别访谈中发现，多数学生不知道如何记笔记，只是记下老师上课时的板书内容.仅有24.6%对于考过的试题，认真分析、保存错题，供复习参考 .究其原因，除了学生基础差、知识点多、难度大外，主要原因是教师引导学生转变学习方式做得不够，对学生学习方法、学习策略的指导关注得太少.因为策略是学生在长期的学习过程中自然诱发出来的偶然学习结果，需教师长期、系统地指导和培养.
（4）对数学学习过程及结果的监控的分析
自我监控能力是元认知的重要组成因素，也是自主学习独立性的重要体现，它既影响着学生在学习活动中的学习质量与效果，又制约着学生自主学习能力的发展.但从表6中数据显示，有41.9%的学生作业只要做完了，就不再做细致的检查；仅有32.4%的学生在考试或作业出现许多错误时，能仔细分析错误原因；54.6%的学生不能对当天的预习、听课、讨论、作业等学习活动作出自我评价（完成的好坏，自己是否满意）.这说明学生在学习中的自我监控能力较低，教学中应有意识提高学生的元认知水平.
2.数学自主学习能力的培养策略
2.1 激发学生数学学习的内在动机
2.1.1 增强学生的自我效能感
自我效能感是由美国心理学家班杜拉提出的一个概念.根据他的界定，自我效能感是指个体相信自己有能力完成某种或某类任务，是个体的能力自信心在某些活动中的具体体现[1].研究普遍证实，学生学习自我效能感对学习行为及成就有重要影响.自我效能感高的学生对其学习的自我监控能力较强，并对其目标定向及学习成绩具有积极的影响.我所任教的班级是文科班，许多学生的数学基础较差，由于错误的角色定位，使他们中很多人形成一种定势“我是文科生，我的强项是文科，数学不会很出色”.如何提高他们的自我效能感是开展自主学习必须解决的问题，我在教学过程中主要采取以下措施：
1.使学生亲身获得成就感
提高自我效能感的最好途径是增加个体成功经验.在平常与学生交流时发现，一些同学在刚上高中时对数学并不惧怕，有些人还抱有很高的热情，满怀希望的去学习，可是在学习中碰到了很大的困难，如老师的教学方式与初中有很大不同、知识点多且抽象等等.许多学生在学习中饱尝数学学习的艰辛，少有宝贵的成功体验.反思现在的教学，很多教师在高一高二就把教学“瞄准高考”，喜欢一步到位,教学中不断出现让人“挠头”的高考题，由于学生缺乏足够的消化时间，能力有所欠缺，故很难理解.久而久之，学生就对数学失去了信心.因此，为了不给学生增加额外负担，教学中要注意：
首先要把握好《课程标准》、《学科教学说明》.如在学习选修1-1《圆锥曲线》这一章时，按照《学科教学说明》的精神，在学习“直线与圆锥曲线的位置关系”这一知识点时，对弦长公式
AB＝ ＝
不作要求，从而减去大量繁琐、冗长、老套的题型.在抛物线的教学中，紧扣定义，让学生在自主探究中发现基本性质，不做过量练习.这样就减少了学生的负担，从而在有限的时间里去学习主干知识，更易获得成功.
其次教学设计要合理 ，要符合学生认知的最近发展区，如在《函数的图像复习课》中的例子：
例题：求使方程 有三个不同解的 的范围.
本题有以下几个难点：能否想到用图像解题；绝对值怎么办；含有参数又该如何解决.
如果直接由学生来解，可能会碰到很大困难，在教学中我采取以下设计：
先出示引例：
已知函数 ，且 .
1）求实数 的值；2）作出函数 的图像；
3）根据图像指出 的单调区间；4）根据图像指出 的解集.
此引例是将例题进行了特殊化的处理，学生易于入手，第2）、3）小问则为学生搭了一个解决问题的平台，第4）小题则是图像在解不等式中的应用.学生多数都能很好的解决引例.接下来出示变式题：
变式：求使方程 有三个不同解的 的范围.
以下是本题的教学实录：
师：如何解决方程解的个数的问题呢？
学A：把绝对值去掉，得到两个方程
①和 ②
这两个方程共有三个不同的解.
师：那这三个不同的解怎样分配？
学A：……①有一根，②有两根或①有两根，②有一根，可以用判别式求！（学生很兴奋）
此时其他学生也都在议论，有的同意，有的不赞同.
生B：用判别式求有问题，本题方程①和②中未知数都有范围.
师：你有没有其他办法？
学B：可以利用画图象观察.
师：很好！B同学提供了一个思路，用图像的交点解决方程解个数的问题，请大家试试作出 .
几分钟过后，通过巡视我发现学生遇到了困难，在得到分段函数
后不会作图了.这此时我引导学生，
师：我们在引例中作出的是 时的 的图像，把4换成字母后，作图方法有没有变？
学生通过回顾二次函数的作图要领，很快的进行了配方.当学生再次准备画图时，又因顶点坐标 不能确定而踌躇不前了.这是本题的难点，关键是引导学生意识到 的取值不同，顶点位置不同.
师大家认为 可能在哪？
学:第一象限，第二象限,也可能在 轴上.
师：对，要讨论 的符号，即以0为讨论标准!
最终学生成功的作出三种图像解决了问题，为使学生更直观的理解 对图象的理解，我又用几何画板动态展示了图象随 变化而变化的过程如下图
教学实际中，给学生一些阶梯，搭一些支架.在学生碰到困难时，让学生通过回顾解基础题的基本方法，领会在解决复杂问题中时基本方法、技能的作用，让学生体会到探索成功的乐趣，使学生亲身获得成就感.
再次，在平常的考试中不要一味的追求题目新奇特.平常的考试如果偏难，学生总是考很低的分数，长久下去，学生会对自己的能力产生怀疑.平常的教学作业、检测要以检查学生是否掌握知识、方法为主.
最后，在数学学习中，对问题的解决很多时候都不是一蹴而就的，往往要经历一些反复，甚至是这样那样的“意外”，比如说想好一个思路，但做了一部分后无法继续前行；思路完全正确，结果却计算错误；思路和结果都正确，方法却不是最合理的等等，这些也是学生努力学习的结果，不可一味强求“完美”，盲目否定. 摒弃“以结果论英雄”的传统单一的评价方法，把注意力从结果转移到学生思维的过程中，将过程性评价与终结性评价有机地结合起来，发掘学生在学习过程中的个人努力并予以肯定.针对不同基础的学生采取不同的评价标准，帮助他们在各自的程度上形成“成功”的体验.让他们在努力—成功—得到肯定的体验中，自我效能感不断提高.
2.树立恰当的学习榜样
班杜拉的观察学习理论发现，学习者通过观察榜样所表现的行为及结果，在自己身上会产生直接的强化作用，并对其自我效能感的形成具有重要的影响 [2].教师在对待学生的任何一次表扬或批评都可能影响除他之外很多人的自我效能感.树立一些“榜样”，对提高学生的自我效能感很有帮助.因此我在教学过程注意观察学生身边的真人真事，选择成绩处于不同水平的学生进行策略应用的示范（如2.1.3节中案例中的F同学），让其他同学通过观察示范者的行为而获得相应的间接体验，当他看到与自己水平相当的示范者获得了成功，就会增强自我效能感，认为自己也能完成同样的任务，这有助于学习者充满信心，积极主动地去学习.
3.关注学生的挫折，及时减轻学生的心理压力
个人成功经验能提高学生自我效能感，同样过多的失败经验也会对自我效能感产生不利影响.数学学科本身就对知识的连贯性有很高的要求，前面学过的知识稍有不扎实就直接影响后面的学习；概念没学透，就难以掌握定理、性质；定理、性质学得不扎实就不能融会贯通地用它们做练习.表现在学习的过程中就是学数学、做数学题很容易卡壳，多次有这样的经历后，学生就会觉得自己十分努力但学习效果却不理想，自我效能感随之降低，从而做出自己没有能力学好数学的判断，产生心理压力.在数学教学中我一直倡导积极提问，互相讨论，在讨论、交流中学生会发现在学习数学的过程中遇到自己解决不了的问题是大家都会碰到的、很普遍的情况，不是我个人能力的问题，大家可以相互讨论互相学习达到共同提高；与此同时如果发现学生的疑问，便及时耐心地予以解决，扫清学生继续学习的心理和知识障碍.
2.1.2 引导学生进行正确归因
在学生自主学习情况的调查中发现：33.2%的学生会认为自己没学好是因为自己努力不够，甚至有35.5%的学生还将“学不好”归于自己能力不强.通过个别交流，我发现学生在“归因不当”这方面就表现的更为突出了.于是，我便在实验班级对部分数学学困生展开了更为细致、全面的调查.通过归因调查分析，我们发现，学生往往把影响学习行为及结果的原因归于：（1）毫无兴趣（2）能力不强（3）内容太难（4）学习方法不当（5）运气不好(自己熟悉的内容没考，考的内容自己不熟悉)，极少归因于努力不够.所以指导学生掌握学习行为归因技能，消除归因误差，形成良好的归因习惯和比较稳定的归因倾向，会直接诱发他们积极的自我反映，对促进学生自主学习有重要意义.我在教学实践中主要采取以下措施：
1.在平时的教育教学中，我适时的面向全体、部分、也可能是个别，指导学生从内部的、可控制的、不稳定的因素中和外部的、不可控制的、稳定的因素中寻找影响学习行为及结果的原因.
首先，把学习成败的原因归结于自己可控制的、不稳定的内部因素，如努力程度、学习方法、知识掌握程度等，尤其是努力程度.因为把学习成败的原因归于自己是否努力，能激发成就动机，提高学习积极性，增强自信心和坚持性.强化努力要收到成效，一方面要使学生不断感到自己的努力是有效的，另一方面要让学生感到自己努力不够，还要不断努力才行.
其次，针对学生的实际情况，引导学生分析影响学习成绩的因素还有哪些，这些因素有多大影响，并尽力指出解决这些问题的方法，使之提高克服困难的勇气，增强自信心.例如，针对部分学生“学习方法”不当这个问题，我还专门组织学生召开了一次班会.
2.针对部分学习困难学生我采取了分别对待、灵活处理的办法
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影响学习行为及结果的不当归因 |
措施 |
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（1）稳定的、可控制的内因：无兴趣可言 |
渗透法：在教学活动中适时点拨，巧妙引申，渗透归因指导，潜移默化的影响学生 |
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（2）稳定的、可控制的内因：缺乏自信心缺少恒心与毅力 |
（1）榜样法：让学习归因正确的学生谈自己在学习成功或失败时是怎样归因的
（2）谈话法：通过个别谈话，弄清他们缺乏自信的原因，多鼓励，并指明学习要有恒心与毅力 |
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（3）稳定的、不可控制的内因：认为自己没有学数学的能力 |
（1）强化法（负强化）：对学生的消极归因，给予否定的评价，加以负强化，引导学生矫正归因误差
（2）谈话法通过个别谈话，进行归因指导 |
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（4）不稳定的、不可控制的外因：运气差 |
负强化 |
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（5）不稳定的、可控制的外因：没有老师和同学的帮助 |
（1）谈话法：通过个别谈话，关心这部分学生，让他们明白自己不是在孤军奋战
（2）结对子：本着自愿组合的原则给这部分学生在学习较优者中挑选“小老师” |
2.1.3 培养学生进行目标设置
学习目标对人们的学习活动有激励、导向、调控的作用，如果目标模糊或没有目标，就会使学习活动陷入极大的盲目性.心理学研究表明，学习目标与学习动机、学习效率有密切的关系.
当目标合理时，能够激发起较高的学习动机，因而学习效率也高;反之，当目标不合理时，即使学习动机较高也不能提高学习效率，例如，有的学生好高鹜远，为自己设定了不符合实际的无论多么努力也难以企及的目标，结果虽然学习动力十足，但并不能提高其学习效率，而且还会挫伤他的学习积极性.所以，在设置学习目标时，只有设置的目标是适当的、合理的，才会提高学习动机和学习效率，才能使其自主学习得以顺利、持久的进行.为此，我在教育教学中采取了以下几种做法：
1.指导学生设置近期的，具体的学习目标
与远期的学习目标相比，近期的学习目标更容易实现，更容易让学生较快地体验到成功，逐步增强学习的自我效能感.比如在课堂教学中，我发现有一个女生经常在上课时打瞌睡，为此我还连续几天点这位学生的名.课余经过同该班班主任了解后知道，该同学刚从普通班升入重点班，虽然成绩较高一刚入学有很大进步，但数学依然很差.了解了情况后，我约她谈了一次话：
师：F同学，你最近上课老打瞌睡，是什么原因？晚上睡得太晚？
F同学：没有，10点多就休息了.
师那为什么上数学课老打瞌睡？
F同学：老师，实话对您说吧！我在高一一年，数学成绩就从没有上过60分.刚进了这个班后，我的动力挺足，我就想，我一定在这个学期把数学成绩赶上去，到期末起码能考到100分，可是近来上课感觉挺难的，有一点听不懂就不想往下听了，就打瞌睡了，对不起.
师：原来是这样啊！数学基础不好，更要努力，有什么学习困难可以多向周围的同学请教，也可以直接来找老师呀.
F同学：老师，我的数学那么差，还能学好吗？
师你看，你能从普通班进入重点班，这足以说明你是有实力的，只要你自己努力，再加以合理的方法，成绩就一定能上来！
F同学：老师，我想学好数学，可是我现在不知道从哪里下手？
师：刚才听你说学期初你就定了学习目标，那只是一个远期的愿望.要想学好数学，必须一步一个脚印的来.现在我们刚开始学习立体几何，它与高一所学的知识联系不多，你可以给自己制定一个近期的学习目标学好立体几何！学习时遇到困难，可以随时来找我.
经过这次谈话，F同学的学习劲头明显高涨.在后来的接触中，我又及时指导她建立每周、甚至每天的学习目标.4周后，F同学发生了可喜的变化（1）作业质量明显提高（2）能够超前预习练习册上的习题（3）上课主动举手发言了.
虽然F同学的数学基础比较差，但在合理的近期、具体的学习目标指引下，使得她能迅速找到学习的切入点，找到实在的抓手，并在实现具体的学习目标中感受到成功的快乐，进一步促进了其主动学习的愿望.
2.指导学生设置“跳一跳，能摸到”的学习目标
在学期初进行的学生学习情况调查中发现，有86%的学生会为实现学习目标而制订(书面)学习计划，但有58.4%的学生在执行时大打折扣.在与学生的进一步交流中了解到，相当一部分学生之所以放弃计划，是因为学习目标定的不合理.要么太难，只好半途而废；要么太容易，可以毫不费力的完成.高水平的但不能实现的目标，一般对学生没有什么激励作用，反而会造成挫折；而低水平的能实现的目标，又不足以说明学生能力的提升.所以在教学中应该针对学生的能力，指导他们设置“跳一跳，能摸到”的学习目标.
3.教会学生把复杂的学习目标分解成具体的、简单的学习目标
学生不愿意主动完成某些学习任务，尤其是复杂的学习任务，在很大程度上是畏于学习任务太困难、太复杂，预期到自己没有能力完成.若把复杂的学习目标分解成具体的、简单的便于完成的学习目标，就可以消除学生的畏惧感，感到任务具有可操作性，能够靠自己完成.如研究函数与方程时，要求学生掌握用函数的图像求方程的解的个数，这一知识点常常作为把关题出现在考题中.能够考查学生研究函数图像的能力、分类讨论能力、化归与转化能力.为了使学生能够深刻理解，我引导学生把问题分解为如下几个应该达到的目标：
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复杂的目标 |
用函数的图像求方程的解的个数 |
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分项目标 |
（1）会画一些基本初等函数的图像如一次函数 ，二次函数 ，指数函数 ，对数函数 ，三次多项式函数 ,反比例函数 |
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（2）式子变形，构造函数 |
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（3）分类讨论标准如何确定，有无讨论的范围. |
这样一来，学生可以顺利解决每一个分项目标，最后的复杂目标也就迎刃而解了.
2.2 加强数学学法指导
2.2.1学会数学阅读
《数学课程标准》强调基础教育要为学生的终生学习打下基础，以人的发展为本，强调人的基础学力，以适应学生未来发展的需要.数学阅读方法是数学学习的最基本的方法.数学阅读能力是数学学习能力中最基本的能力之一.传统的数学教学，教师把精力放在习题训练上，片面追求一节课的训练密度，所以教师在课堂上以讲代思.即使有些教师提出有思考价值的问题，也没有留给学生自主学习和思考的时间与空间，久而久之，学生自主学习的时间少，思考空间小，阅读能力得不到发展，依赖性却越来越强，自主学习、独立解决问题的信心一天天丧失.因此加强学生的数学阅读能力可以促进学生的自主学习.
1.给学生阅读的时间和空间
学生的阅读能力的提高能促进学生自主学习，反之要培养学生的阅读能力，学生也必须有自主学习、自主探索的时间和空间，所以我改变过去片面强调授受的教学方式，利用学案引导学生自主学习的教学方式.课堂上，当学生的自主学习没有发生操作和理解上的困难时，绝不讲解，即使是讲解也应以启发点拨为主从而让学生在数学阅读中有一个宽松的环境.
2.加强分类指导，提高阅读实效
数学教材的内容可分为四类:概念类、公式定理类、解题练习类、复习小结类.针对不同的阅读内容,我向学生提出了不同的阅读问题,要求学生带着问题,边阅读边思考.同时,教师在课堂教学中进行了适时的指导.
在学生数学阅读能力还没有完全形成的初级阶段，可以通过导读提纲来引导学生自我提问，进而培养学生的数学阅读能力.例如我起草的直线的斜率的导读提纲：
1、 思考直线的斜率的定义 1、直线的斜率的定义
产生的背景是什么？ 已知两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），且x1≠x2，则直线PQ的斜率为k =
特别地，当x1 = x2时，k
2、思考斜率的表达式有无 思考：斜率与P、Q两点的顺序有关吗？
其他形式？有无特殊情况？ 2、直线的倾斜角
（1）定义
（2）范围θ∈
3、思考直线的倾斜角和斜率的 3、直线的倾斜角和斜率的关系
有何关系？ 直线的斜率和倾斜角都刻画了直线的 ，它们之间有以下关系设直线斜率为k，倾斜角为θ，
（1）当直线与x轴不垂直时，即θ≠900，k= ，当直线与x
4、思考斜率与倾斜角 轴垂直时，即θ= 900，k
怎样相互影响？ （2）α为锐角，k ，
α为钝角，k ，
α为直角，k
在以上导读提纲中，从多角度体现数学概念学习的关注点，让学生在阅读中反思、探究、创新，从而构建学生的发展性平台.教师如果能够长期坚持下来，这些提问方式将最终内化为学生的自己的阅读习惯，即由教师提问转变为学生自我提问.这样学生通过自我提问对自己阅读过程加以引导和监控.当学生具备了一定的阅读经验和能力，或者是阅读材料比较适合学生时，教师可以逐步放手，引导学生根据阅读需要自拟阅读提纲，让学生从依赖教师的自学提纲过渡到自己编拟自学阅读提纲，再到不依赖自学提纲，真正提高阅读能力.
3.教授阅读策略，提升阅读能力
复诵策略可以帮助记忆和理解，即在重读一遍的过程中，读出声音来以帮助其阅读理解的策略.通过复诵加深对阅读材料的理解，同时主动重复说出学习材料的内容，检查阅读的效果.复诵的内容不宜过于复杂，对于要求记忆的公式或定理可以采用此种方式进行阅读.教师还可以组织“一帮一”的活动，让学生在给同学说题讲题的过程中加深理解，同时提高自己对阅读活动的监控能力.
组织策略是指学习者将学习材料按照不同特征重新加以分类整理，使线索更加明确.学生可以用文字叙述、分类列表、图示法等不同方法进行整理.
精致化策略是针对刺激作相关的联想或诠释，对材料进行精细加工，使其意义化.即在新信息进入记忆之后，人们进一步附加与之有关的信息的过程，是使新旧知识获得联系的重要手段之一.经过精制的信息由于与已有知识紧密联系，因而容易为认知结构所理解，并在认知结构中获得适宜定位，有利于以后对它的检索.精致的方法很多，类比就是其中的一种.
例如，在阅读一个几何证明题：正方体的截面面积等于被截去部分的三组相对面面积差的平方和（包括退化的情况）时，学生可以联想到类比这个结构的定理1、定理2、定理3和定理4.
定理1：在以D-ABC为直角三面角的四面体ABCD中，第四个面的面积等于直角三面角的另外三个面的面积的平方和，
即 .
定理2：正方体的截面与共顶点的三个面所成的三个二面角的余弦的平方和等于1，即 .
定理3：在长方体中，对角线的平方的两倍等于交于同一顶点的三个面的面对角线的平方和，即 .
定理4：在长方体中，对角线的平方等于长方体三棱平方和，
即 .
这个题目的证明过程可以通过类比上面的一系列定理得出，具体的分析和证明过程不在此处列出了.
4.记录阅读情况，反思阅读效果
学习是能动的过程，学习者会主动构造自己对信息的理解，并采取促进学习的具体策略，其中包括做笔记、划重点、概括观点、列标题等.学生在阅读中，有所感、有所悟或有所发现的或遇到疑难，都应及时在阅读材料上圈点，做记录.要着力发掘并记录问题及处理问题的想法，建立自己的“疑问集”，定期梳理笔记.使它成为学生进步和创新的起点，有关笔记的使用将在下一节详细介绍.
2.2.2 学会记笔记
记学习笔记是提高学生知识水平、丰富学生知识结构、拓宽学生思维空间的重要手段之一，是自主学习者对所学知识精加工的一种重要形式.调查发现，多数学生在初中没有记录数学笔记的习惯，相当一部分学生在高中也没有记录数学笔记的习惯，可见学生对数学笔记的重要性认识不够.即使记笔记，也多是以教师板书为主，而对课堂疑问等其它内容记录较少，科学的数学笔记方式尚待推广.笔者在让学生进行交流的基础上介绍了一些形式比较好的笔记形式.
1.编制问题卡
数学的学习就是问题提出、问题获得解决的过程.在学习中有了问题不要轻易放过，但其中很多不会得到立刻的解答，需经过反复的、甚至是长时间的思考，有时还需要与同学讨论，向老师请教或查阅资料，这时这种便于携带的问题卡可以随时使用，长期坚持下去，就可形成针对个人具体学习情况的问题集，比如一位同学是这样记录他的问题的：
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选修1-1《创新导练》 第86页
3.一个炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸的声音的时间比在B处晚2秒.
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？
（2）已知A，B两地相距800米，并且此时声速为340米/秒，求曲线方程？
问题⒈设爆炸点为P，在A处听到爆炸声比在B处晚了2秒说明了什么问题？
问题⒉点P在怎么样的曲线上？ |
问题卡的设置，充分地体现了学生学习中的难点，解决了学生学习中的一些问题.如此长期坚持下去就可编出针对个人学习情况的问题集，使笔记成为学习中解决问题的词典，从而可经常通过翻检卡片来检查学习状态，加强记忆和对数学思维的锤炼.
2.恰当的眉批
概念是数学知识的脉络，概念的准确理解是数学知识掌握的关键，高中数学概念多，语言科学，数学概念的叙述往往是简洁而严谨，一个关键词就可能隐藏着丰富的数学内涵，在学习过程中，直接在课本的重要处做一些圈点或在空白处做一些注释说明，便于复习时直接对照.例如，一位同学在书上对函数概念进行了旁注：
（1）函数是一个特殊的映射，是两个非空数集之间的一个映射
（2）函数三要素：对应法则、定义域、值域
（3）原象的集合是定义域，象的集合是值域
（4）对应法则可以是一个解析式，也可以是个解析式
还可以用其它方式来表示恰当的眉批，有助于细化知识点，把隐藏的潜台词挖掘出来，并加以注意，加深对知识层次的理解，便于复习迎考！
3.专题记录，归类小结
高中数学有些内容表达较为抽象，理解困难，有些方法分类复杂，变化多端，又难以把握，有些数学题一题多解或多题一解，记录并小结，显得妙趣无穷. 4.记录错题，增强批判能力
在数学学习的过程中做错题是在所难免的，怎样对待这些错题呢？有则改之，作业上、测验中、课外读物上，做错了题目用笔记记录下来，加上心得体会，时常翻翻.例如：
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题：求解函数 的最值 |
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错解∵
∴由基本不等式得
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错解分析∵
∴
∴无解 |
用这种方式可以达到透彻理解知识和避免思维定式的作用，从而达到降低同一方式出错率，提高数学解题能力.这种能力很重要，但是往往会被学生所忽视，让学生自己找错误点，是培养学生批判式思维能力的较好方式.
2.2.3 学会归纳小结
在中学数学课堂中,课堂小结几乎是每节课都不能少的.在一堂课临近结束的时候,全面总结一堂课的重点内容,回顾学习探究的历程,领悟重要的思想方法(包括学习方法),对于巩固课堂学习成果,深化知识网络结构,提高自己的反思能力是十分有意义的.
1. 引导学生自己进行课堂小结
传统的课堂小结通常由教师在快下课是完成，形式单一、只重结果、且强加于人, 难以唤起学生的激情学生至多是在被动地听、记,久而久之,会使学生失去兴趣、甚至生厌.然而按照新课程教学理念,“数学教学是数学活动的教学.”“数学教学活动应是学生经历‘数学化’、‘再创造’的活动过程.是师生的互动过程.”课堂小结既然是课堂教学的组成部分,就必须是数学活动教学的一部分，是在教师的引导下,学生的自主学习、探究活动的继续和深入,学生依然是学习的主人.只是这种学习活动目标更明确,过程更集中,教师的引导作用也更为重要.
在这一过程中我“放手”给学生,同时积极参与其中,适时点拨,正确引导.学生的思考与总结也许不够“完善”,你一言、我一语的发言不够全面,甚至一些学生说不到“点子”上而影响一堂课的“完美结局”,但这毕竟是属于学生自己的“成果”,是学生主动自我建构的结果,从发展学生的认知结构而言,显然更具有意义.其次,构建以学生自主探究、合作交流为特征的课堂小结,为学生搭建进一步探究学习、交流展示的平台,可以更好地培养学生的反思、概括、表述等能力；使学生养成良好的数学学习习惯———善于反思,体验过程,领悟规律；使学生充分享受课堂学习带来的成功的喜悦；将培养学生的课堂学习主人翁意识贯穿课堂教学始终.如在小结“异面直线所成角”、“异面直线的距离”概念的学习过程中,笔者首先引导学生回顾概念建立的全过程,设计思考题:（1）建立概念的必要性（2）建立概念的合理性（3）如何理解概念的本质属性,并让学生用自己的语言表述.经过学生的思考、发言、交流,大家对概念建立的过程及概念本身有了较为深刻的理解.笔者认为,比起教师独白“今天所学的概念是……重点是……大家一定要……”,显然要好的多.笔者认为，比起问题解决本身,学生对思想方法的领悟也许更为重要.
2.加强课后的作业小结，促进学生反思
在进行课堂小结之后，要想进一步提高学生的归纳反思能力，作业后小结无疑是其中较好的一种方式.数学作业小结就是要求学生在每次数学作业后写下本次作业中所涉及的主要知识、解题方法、解题思路、解题策略等方面的收获.它可以加深学生对数学知识的理解从而建构起相关知识的图式"可以明晰数学解题的方法、思路从而促使陈述性知识向程序性知识的转化.可以提高学生解决数学问题的自信心，可以让学生体会到在历尽艰辛、冥思苦想后解决了难题时的成就感，进而培养学生对数学学习的积极的情感体验.开始时我让学生在数学作业后加一个小结的环节，此项工作可带有一定的强制性，作业后没有小结者一律发回补做.小结的主要内容有很多方面：（1）数学知识和学习的策略方面：本次作业所涉及的主要知识(最好总结为一句话)，解题中用到的方法、思路和策略；（2）丰富数学学习的元认知知识方面：为什么要选择这种解法，为什么要这样想；（3）强化元认知体验方面：通过作业自己的最大体会是什么，最成功之处是什么等；（4）提高学生数学自我监控能力方面：还有什么不懂，不懂的地方在何处，如何弄清楚，解题的关键是什么，问题能否推广，能否解决类似的问题，答案是否需要检验，你对老师的建议等.通过教师讲评和优秀学生小结的示范，绝大部分学生从小结中体验到其中的乐趣，小结工作逐渐成为学生的自觉行为.
2.2.4学会预习
自主学习要求学生相对独立地学习，课前预习是自主学习的基本条件，也是学生学习的起点，主要达到三个目的：一是思想上的准备，通过预习，明确学什么，为什么学，从而激发学习动机，端正学习态度.二是知识上准备，通过预习，对教材有一个初步的印象，掌握教材的重点、难点，为提高听课质量打下基础.三是物质上的准备，通过预习，可以知道上课时带什么教材和学习工具，使用什么参考书等.通过预习还可以明确新旧知识之间的联系，为进一步接受新的知识做好准备，从而培养学生良好的学习习惯，提高学生的自学能力和独立思考能力.我在教学过程中，对学生的预习提出了下面几点尝试：
1.指导学生合理安排预习时间
预习时间以课内为主，还是以课外为主？一堂课45分钟，如果让学生认真地看一看数学内容，学生有一个动脑思考的过程，这样少则需要十几分钟，多则需要半个小时（甚至更多），在课堂里势必影响教学任务的完成；如果学生走马观花地看一遍，学生考虑问题则不深、不细，起不了什么作用这样的课堂教学，学生肯定处于被动.针对以上情况，我尝试了以课外为主的预习方法，要求每个学生每天抽半个小时，结合所发的导学案，对第三天的新课进行预习，并要求他们在导学案上写出预习的疑问.我每天收查导学案，了解学生的预习情况，然后针对他们提出的疑难问题进行再备课，提高了备课效果.预习，使学生学习由被动变为主动；使课堂教学与个别指导相结合，有利于因材施教.
例如，在讲授“直线方程的点斜式”一节时，学生通过预习较集中地提出了下列几个问题：
(1)由倾斜角 在取值范围 可知，当 时，直线上任意两点的横坐标 和 相等，但书上说 时斜率不存在，是否矛盾？
(2)书中说，“当 时， ,当 时直线平行于 轴，它的斜率不存在”，应当是“当 时， 即斜率不存在，当 时，直线平行于 轴，它的斜率 ”.
（3）直线方程与斜率的关系是什么？为什么在建立直线方程之前，要研究直线的斜率？掌握了斜率就确定直线方程了吗？
当然，课外预习并不排除有些简单的内容可以放在课内进行，例如，在讲授“两直线平行，垂直条件”一课时，由于内容简单，笔者便在课内留出10分钟，让学生预习，同样收到较好的效果.
2.指导学生学会预习不同的课型
（1）基础知识课的预习
基础知识课是课程标准对“概念课”的重新命名，即我们过去讲授过的“新授课”即基础知识课.这一类课的特点是新知识的传授，主要内容是概念与例题，概念包括定义、法则、公式、定理、性质等一系列内容.学生在预习时.要求能够认真阅读课本知识内容，在预习阅读过程中.重点做好以下三个方面的工作:其一、明确数学知识来源于实际生活.又服务于实际生活，许多数学知识是现实问题的概括与抽象，使学生明确这一点是为了把枯燥无味的知识变得生动兴趣化.其二、重点理解知识的推导过程，知识的发生和发展过程.使学生通过预习不仅知其然，更应该知其所以然.对学习有困谁的学生，在预习时遇到不懂的地方，要求进行标注这些疑难问题.通过老师的课堂讲解逐步得到解决.有严重学习困难的学生，则要进行面对面的指导，使其达到接受基本知识的要求.其三、预习时让学生注意数学的三种语言即自然语言、符号语言和图形语言的有机结合.教学离不开符号语言，特别是几何知识，要求学生在预习时有意注意自然语言与符号语言、图形语言的相互转化.
（2）例题课的预习
例题课要求学生在预习过程中首先要发现例题所用到的知识点，这些知识点包括哪些定义、法则、公式、性质、定理.另一方面是例题的解题方法，让学生首先看懂课本例题的思路，然后思考是否有其它的方法，在解题思路上让学生换一个角度是否能解决问题.让学生探索一题多解、一题多变、多题一法的计算，并从中比较得到简洁明快的解题思路.如果学生没有新的突破，学生就会有目的地听教师讲解，通过老师的讲解拓展思路与方法，从而获得源于课本又高于课本的新收获.
（3）复习课的预习
引导学生参看课本知识提纲，让学生学会自己将知识系统化，在预习总结过程中体现:①知识概念的总结；②数学思想与方法的总结，如转化思想、换元思想、消元思想、整体代换思想，逆向思维等；③善于寻找解题规律，逐步学会知识间的融汇贯通，要学一题，会一类，达到举一反三、触类旁通的效果.
2.2.5 学会复习
经过调查和访谈之后发现，超过80%的学生只在考试之前进行系统的复习，只有不到20%的学生能在一单元结束后及时复习.复习的方法单一，多数是看看课本，阅读一遍笔记，复习效率低下.为此笔者做了如下尝试.
1.合理安排复习时间
教学中发现，许多学生不会安排复习时间.每到大考，常常复习不完就忐忑的进入考场.因此，我建议学生建立自己的复习计划，将数学复习分成阶段性计划，分到每天、每周、每单元进行，并利用一些自我监督技术保障计划的持续进行.
2.运用提纲进行单元复习
为了加深学生对知识的掌握，使学生头脑中形成一定的层次网络.教师要逐渐引导和培养学生知识的结构化系统化的能力.
例如，笔者在教完“立体几何这一章内容时，从组成空间图形的点、线、面出发，引导学生系统地总结其内容.为了引导学生的复习小节，笔者编排了一则未完成的提纲，引导、示范学生完成
