徐州二中高中学生数学自主学习能力的培养策略
徐州市第二中学 宋远娜、鲍士波
内容摘要：近年来，由于重点高中的招生规模不断扩大，因而普通中学学生的素质特别是数学素质越来越低，学生学习被动、依赖老师.我通过平时教育理论的学习和教学实践经验的积累，实施了普通中学生数学自主学习能力培养的研究.本文通过问卷调查，了解我校高中学生数学自主学习能力的现状，并根据教学实际对学生从激发数学学习的动机（增强自我效能感、正确归因、合理进行目标设置），加强学法指导（学会阅读、学会记笔记、学会归纳小结、学会预习、学会复习），培养元认知学习策略（自我监控策略、自我评价策略）来培养学生的数学自主学习能力.
关键词：自主学习、能力、 教学策略.
近年来，由于重点高中的招生规模不断扩大，普通中学学生的素质特别是数学素质越来越低.在十来年的数学教学工作中，我深感普通高中学生在数学学习中的困惑与艰难，同时也看到学生学习极其缺乏自主性.他们大多倾向于让教师上课多讲，也比较重视记笔记，但对发言、讨论却并不太积极.学生被动学习，不会学习,“教师讲，学生听；教师写，学生抄；教师拨一拨，学生动一动”.学生学得苦，教师教得累，教学效率低下.这既影响学生的身心健康 ，又妨碍学生的个性发展.随着课改不断深入，各地规范办学的相关文件出台,我们也必须改变以往简单增加教学课时的做法.那么,如何摆脱这种“教师讲，学生听；教师写，学生抄；教师拨一拨，学生动一动”的现状呢？
反思当前的教学，我认为必须改进教学方法，培养学生自主学习的能力，使学生学会学习.唯其如此，学生才能学得主动，学得轻松，学生的个性、特长才能自由发展，学生的素质才能全面提高，真正实现由“应试教育”向“素质教育”的转轨.
1.徐州二中高中学生自主学习的现状调查及分析
本次调查的目的是通过对徐州市第二中学的部分学生的自主学习情况的调查，了解学生自主学习的现状.对影响学生自主学习的因素，如自我效能感，主动意识，目标设置与计划、学习动机、自我监控与调节、学习策略、自我评价等影响自主学习因素进行调查分析，从而为帮助学生改进学习方式，提高自主学习效果，培养学生自主学习能力提供依据.
1.2调查的工具与样本
1.工具：本调查以庞维国著的《自主学习一学与教的原理和策略》一书中的《学习自主性量表测验题本》为蓝本，根据数学学习的特点和普通高中学生的特点,参阅有关资料自编了调查问卷.编好之后先进行少部分学生的预测，然后与被测学生进行座谈，得到一些反馈信息，又请教了许多有教学经验的老教师，最后进行了进一步修改.力求做到题目编制尽量体现简明、扼要、易操作的原则，同时保证测试的有效性和可信度.
2.调查样本选择：选取徐州市第二中学高二年级6个班学生为调查对象，其中男生143人，女生168人.发放问卷311份，当场收回问卷305份，有效率98.07%.
3．调查时间：2009年10月上旬.
1. 对数学学习的动机的分析
自主学习有别于各种形式的他主学习，它是学生积极、主动、自觉地从事和管理自己的学习活动.因此，良好的学习动机能促使学习者自主学习的开展和持续.
调查显示，仅有9.9%的学生对数学非常感兴趣，48.2%的学生有时感兴趣，另有37.2%的人认为课堂上学习的东西是用来应付考试.究其原因是以“以考为本”，“以教师为中心”，把学生当作“容器”，进行单向灌输，久而久之，学生变得具有惰性，一味地被动学习，数学学习方式缺乏独立性和主动性，积极性不强，没有学习兴趣和正确的知识观，自主学习只能是教育者的一相情愿；在主动意识方面，当问及“你希望课堂上教师采取何种方式教学”时，高达48%的学生希望老师讲解越详细越好，这说明将近半数的学生课堂上对教师高度依赖，缺乏主动学习、合作学习的意识.对于“在课堂上，你对老师〔或教材上)的例题解法的态度”，有41.9%的学生仅满足于听(看)懂解法而不做进一步思考.如果老师不布置作业，仅有8.2%的同学自己能主动看书或找习题做.对于可做可不做的选做题，有38.2%的学生选择放弃； 有43.3% 的学生对凭自己的能力可以学好数学产生怀疑，81%的学生在学习时常感到力不从心.由此看出，学生面对具有挑战的学习任务时，常常对自己产生怀疑，进而回避，自我效能感较低.更有35.5%的同学把自己数学学习不好的原因归因为“反应慢，数学能力欠缺”.因此，要想促进学生的自主学习，改善学习质量，要把增强数学学习的动机作为一项重要目标.
2.对数学学习内容的选择和学习时间的安排的分析
调查表的第8、24、38、58题是针对学生选择学习任务而设计.调查发现，78%的学生希望自习课的学习任务能由自己安排.但在实际中，有60%的学生认为自习课被老师所决定，教师过多的干扰了学生的自我安排.常此以往，学生就会被教师牵着鼻子走，弱化了学生自我选择、自我安排的能力.调查还显示70%的学生会为自己制定学习目标计划，但仅有12.5%的人能很好的执行，有58%的学生制定计划目标但执行时大打折扣，还有30%的学生根本没有计划.这反映出许多学生在学习中还是盲目行事，自我监控能力缺乏.在学习时间的管理上44.7%的学生学习时间的长短经常受到学习状态的影响（如：心情好，有兴趣，学习时间延长；疲劳时，有厌学情绪时，学习时间缩短）.46.3%的学生只有临近考试时才系统复习以前学习的知识，15.5%的学生“今天的学习任务没能完成，留到明天去完成”.这表明相当一部分学生缺乏合理的时间计划和时间管理能力.
3.对数学学习方法的分析
从统计数字可以看出：64.5%学生能够注意到学习策略，也很想了解一些学习方法、学习策略，但相当一部分学生的学习策略缺乏科学性，只会依赖于过去形成的学习策略与习惯，这无形中影响了自己学习的进步和发展.调查发现：
（1）忽视课前预习，课后复习不到位
预习是上课前对将要上的内容进行阅读，了解其概要，做到心中有数，以便掌握听课的主动权，目的是提高听课效率，但表4中反映仅有10%的学生能做到课前预习，48.9%的学生只有在老师有布置的情况下才预习.仅有24.6%的学生检查预习效果.复习是把学过的知识进行再学习，以达到融会贯通、牢固掌握的目的.而通过调查统计来看，课后经常复习的学生人数仅为15.1%，多数学生只在有空时或为了应付考试才复习.
（2）忽视对所学知识的总结整理
从信息论角度看，学习实质的主体部分好比是信息的输入、储存、提取的过程，其信息储存越有序、越系统化，信息的提取越容易.而重视对知识归类整理过程就是让学生自己在主动理解学习内容的基础上，找出重点、关键并加以精练概括，构建成新的知识结构过程,也是学生对所学知识进行系统、有序储存的过程.因此，它直接影响着学生学习的效率.从表4调查统计显示，仅有14.7％的学生上完课能总结出本节课的内容；有42.8％的学生只是偶尔整理、总结，也就是说，学生总体缺乏对所学知识的自主整理与总结.
（3）笔记整理使用不当
从调查中看出27.5%％的学生对重点内容做一些笔记；39.8%的学生偶尔记下重要内容，但在个别访谈中发现，多数学生不知道如何记笔记，只是记下老师上课时的板书内容.仅有24.6%对于考过的试题，认真分析、保存错题，供复习参考 .究其原因，除了学生基础差、知识点多、难度大外，主要原因是教师引导学生转变学习方式做得不够，对学生学习方法、学习策略的指导关注得太少.因为策略是学生在长期的学习过程中自然诱发出来的偶然学习结果，需教师长期、系统地指导和培养.
（4）对数学学习过程及结果的监控的分析
自我监控能力是元认知的重要组成因素，也是自主学习独立性的重要体现，它既影响着学生在学习活动中的学习质量与效果，又制约着学生自主学习能力的发展.但从表6中数据显示，有41.9%的学生作业只要做完了，就不再做细致的检查；仅有32.4%的学生在考试或作业出现许多错误时，能仔细分析错误原因；54.6%的学生不能对当天的预习、听课、讨论、作业等学习活动作出自我评价（完成的好坏，自己是否满意）.这说明学生在学习中的自我监控能力较低，教学中应有意识提高学生的元认知水平.
2.数学自主学习能力的培养策略
2.1 激发学生数学学习的内在动机
2.1.1 增强学生的自我效能感
自我效能感是由美国心理学家班杜拉提出的一个概念.根据他的界定，自我效能感是指个体相信自己有能力完成某种或某类任务，是个体的能力自信心在某些活动中的具体体现[1].研究普遍证实，学生学习自我效能感对学习行为及成就有重要影响.自我效能感高的学生对其学习的自我监控能力较强，并对其目标定向及学习成绩具有积极的影响.我所任教的班级是文科班，许多学生的数学基础较差，由于错误的角色定位，使他们中很多人形成一种定势“我是文科生，我的强项是文科，数学不会很出色”.如何提高他们的自我效能感是开展自主学习必须解决的问题，我在教学过程中主要采取以下措施：
1.使学生亲身获得成就感
提高自我效能感的最好途径是增加个体成功经验.在平常与学生交流时发现，一些同学在刚上高中时对数学并不惧怕，有些人还抱有很高的热情，满怀希望的去学习，可是在学习中碰到了很大的困难，如老师的教学方式与初中有很大不同、知识点多且抽象等等.许多学生在学习中饱尝数学学习的艰辛，少有宝贵的成功体验.反思现在的教学，很多教师在高一高二就把教学“瞄准高考”，喜欢一步到位,教学中不断出现让人“挠头”的高考题，由于学生缺乏足够的消化时间，能力有所欠缺，故很难理解.久而久之，学生就对数学失去了信心.因此，为了不给学生增加额外负担，教学中要注意：
首先要把握好《课程标准》、《学科教学说明》.如在学习选修1-1《圆锥曲线》这一章时，按照《学科教学说明》的精神，在学习“直线与圆锥曲线的位置关系”这一知识点时，对弦长公式
AB＝ ＝
不作要求，从而减去大量繁琐、冗长、老套的题型.在抛物线的教学中，紧扣定义，让学生在自主探究中发现基本性质，不做过量练习.这样就减少了学生的负担，从而在有限的时间里去学习主干知识，更易获得成功.
其次教学设计要合理 ，要符合学生认知的最近发展区，如在《函数的图像复习课》中的例子：
例题：求使方程 有三个不同解的 的范围.
本题有以下几个难点：能否想到用图像解题；绝对值怎么办；含有参数又该如何解决.
如果直接由学生来解，可能会碰到很大困难，在教学中我采取以下设计：
先出示引例：
已知函数 ，且 .
1）求实数 的值；2）作出函数 的图像；
3）根据图像指出 的单调区间；4）根据图像指出 的解集.
此引例是将例题进行了特殊化的处理，学生易于入手，第2）、3）小问则为学生搭了一个解决问题的平台，第4）小题则是图像在解不等式中的应用.学生多数都能很好的解决引例.接下来出示变式题：
变式：求使方程 有三个不同解的 的范围.
以下是本题的教学实录：
师：如何解决方程解的个数的问题呢？
学A：把绝对值去掉，得到两个方程
①和 ②
这两个方程共有三个不同的解.
师：那这三个不同的解怎样分配？
学A：……①有一根，②有两根或①有两根，②有一根，可以用判别式求！（学生很兴奋）
此时其他学生也都在议论，有的同意，有的不赞同.
生B：用判别式求有问题，本题方程①和②中未知数都有范围.
师：你有没有其他办法？
学B：可以利用画图象观察.
师：很好！B同学提供了一个思路，用图像的交点解决方程解个数的问题，请大家试试作出 .
几分钟过后，通过巡视我发现学生遇到了困难，在得到分段函数
后不会作图了.这此时我引导学生，
师：我们在引例中作出的是 时的 的图像，把4换成字母后，作图方法有没有变？
学生通过回顾二次函数的作图要领，很快的进行了配方.当学生再次准备画图时，又因顶点坐标 不能确定而踌躇不前了.这是本题的难点，关键是引导学生意识到 的取值不同，顶点位置不同.
师大家认为 可能在哪？
学:第一象限，第二象限,也可能在 轴上.
师：对，要讨论 的符号，即以0为讨论标准!
最终学生成功的作出三种图像解决了问题，为使学生更直观的理解 对图象的理解，我又用几何画板动态展示了图象随 变化而变化的过程如下图
教学实际中，给学生一些阶梯，搭一些支架.在学生碰到困难时，让学生通过回顾解基础题的基本方法，领会在解决复杂问题中时基本方法、技能的作用，让学生体会到探索成功的乐趣，使学生亲身获得成就感.
再次，在平常的考试中不要一味的追求题目新奇特.平常的考试如果偏难，学生总是考很低的分数，长久下去，学生会对自己的能力产生怀疑.平常的教学作业、检测要以检查学生是否掌握知识、方法为主.
最后，在数学学习中，对问题的解决很多时候都不是一蹴而就的，往往要经历一些反复，甚至是这样那样的“意外”，比如说想好一个思路，但做了一部分后无法继续前行；思路完全正确，结果却计算错误；思路和结果都正确，方法却不是最合理的等等，这些也是学生努力学习的结果，不可一味强求“完美”，盲目否定. 摒弃“以结果论英雄”的传统单一的评价方法，把注意力从结果转移到学生思维的过程中，将过程性评价与终结性评价有机地结合起来，发掘学生在学习过程中的个人努力并予以肯定.针对不同基础的学生采取不同的评价标准，帮助他们在各自的程度上形成“成功”的体验.让他们在努力—成功—得到肯定的体验中，自我效能感不断提高.
2.树立恰当的学习榜样
班杜拉的观察学习理论发现，学习者通过观察榜样所表现的行为及结果，在自己身上会产生直接的强化作用，并对其自我效能感的形成具有重要的影响 [2].教师在对待学生的任何一次表扬或批评都可能影响除他之外很多人的自我效能感.树立一些“榜样”，对提高学生的自我效能感很有帮助.因此我在教学过程注意观察学生身边的真人真事，选择成绩处于不同水平的学生进行策略应用的示范（如2.1.3节中案例中的F同学），让其他同学通过观察示范者的行为而获得相应的间接体验，当他看到与自己水平相当的示范者获得了成功，就会增强自我效能感，认为自己也能完成同样的任务，这有助于学习者充满信心，积极主动地去学习.
3.关注学生的挫折，及时减轻学生的心理压力
个人成功经验能提高学生自我效能感，同样过多的失败经验也会对自我效能感产生不利影响.数学学科本身就对知识的连贯性有很高的要求，前面学过的知识稍有不扎实就直接影响后面的学习；概念没学透，就难以掌握定理、性质；定理、性质学得不扎实就不能融会贯通地用它们做练习.表现在学习的过程中就是学数学、做数学题很容易卡壳，多次有这样的经历后，学生就会觉得自己十分努力但学习效果却不理想，自我效能感随之降低，从而做出自己没有能力学好数学的判断，产生心理压力.在数学教学中我一直倡导积极提问，互相讨论，在讨论、交流中学生会发现在学习数学的过程中遇到自己解决不了的问题是大家都会碰到的、很普遍的情况，不是我个人能力的问题，大家可以相互讨论互相学习达到共同提高；与此同时如果发现学生的疑问，便及时耐心地予以解决，扫清学生继续学习的心理和知识障碍.
2.1.2 引导学生进行正确归因
在学生自主学习情况的调查中发现：33.2%的学生会认为自己没学好是因为自己努力不够，甚至有35.5%的学生还将“学不好”归于自己能力不强.通过个别交流，我发现学生在“归因不当”这方面就表现的更为突出了.于是，我便在实验班级对部分数学学困生展开了更为细致、全面的调查.通过归因调查分析，我们发现，学生往往把影响学习行为及结果的原因归于：（1）毫无兴趣（2）能力不强（3）内容太难（4）学习方法不当（5）运气不好(自己熟悉的内容没考，考的内容自己不熟悉)，极少归因于努力不够.所以指导学生掌握学习行为归因技能，消除归因误差，形成良好的归因习惯和比较稳定的归因倾向，会直接诱发他们积极的自我反映，对促进学生自主学习有重要意义.我在教学实践中主要采取以下措施：
1.在平时的教育教学中，我适时的面向全体、部分、也可能是个别，指导学生从内部的、可控制的、不稳定的因素中和外部的、不可控制的、稳定的因素中寻找影响学习行为及结果的原因.
首先，把学习成败的原因归结于自己可控制的、不稳定的内部因素，如努力程度、学习方法、知识掌握程度等，尤其是努力程度.因为把学习成败的原因归于自己是否努力，能激发成就动机，提高学习积极性，增强自信心和坚持性.强化努力要收到成效，一方面要使学生不断感到自己的努力是有效的，另一方面要让学生感到自己努力不够，还要不断努力才行.
其次，针对学生的实际情况，引导学生分析影响学习成绩的因素还有哪些，这些因素有多大影响，并尽力指出解决这些问题的方法，使之提高克服困难的勇气，增强自信心.例如，针对部分学生“学习方法”不当这个问题，我还专门组织学生召开了一次班会.
2.针对部分学习困难学生我采取了分别对待、灵活处理的办法
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影响学习行为及结果的不当归因 |
措施 |
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（1）稳定的、可控制的内因：无兴趣可言 |
渗透法：在教学活动中适时点拨，巧妙引申，渗透归因指导，潜移默化的影响学生 |
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（2）稳定的、可控制的内因：缺乏自信心缺少恒心与毅力 |
（1）榜样法：让学习归因正确的学生谈自己在学习成功或失败时是怎样归因的
（2）谈话法：通过个别谈话，弄清他们缺乏自信的原因，多鼓励，并指明学习要有恒心与毅力 |
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（3）稳定的、不可控制的内因：认为自己没有学数学的能力 |
（1）强化法（负强化）：对学生的消极归因，给予否定的评价，加以负强化，引导学生矫正归因误差
（2）谈话法通过个别谈话，进行归因指导 |
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（4）不稳定的、不可控制的外因：运气差 |
负强化 |
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（5）不稳定的、可控制的外因：没有老师和同学的帮助 |
（1）谈话法：通过个别谈话，关心这部分学生，让他们明白自己不是在孤军奋战
（2）结对子：本着自愿组合的原则给这部分学生在学习较优者中挑选“小老师” |
2.1.3 培养学生进行目标设置
学习目标对人们的学习活动有激励、导向、调控的作用，如果目标模糊或没有目标，就会使学习活动陷入极大的盲目性.心理学研究表明，学习目标与学习动机、学习效率有密切的关系.
当目标合理时，能够激发起较高的学习动机，因而学习效率也高;反之，当目标不合理时，即使学习动机较高也不能提高学习效率，例如，有的学生好高鹜远，为自己设定了不符合实际的无论多么努力也难以企及的目标，结果虽然学习动力十足，但并不能提高其学习效率，而且还会挫伤他的学习积极性.所以，在设置学习目标时，只有设置的目标是适当的、合理的，才会提高学习动机和学习效率，才能使其自主学习得以顺利、持久的进行.为此，我在教育教学中采取了以下几种做法：
1.指导学生设置近期的，具体的学习目标
与远期的学习目标相比，近期的学习目标更容易实现，更容易让学生较快地体验到成功，逐步增强学习的自我效能感.比如在课堂教学中，我发现有一个女生经常在上课时打瞌睡，为此我还连续几天点这位学生的名.课余经过同该班班主任了解后知道，该同学刚从普通班升入重点班，虽然成绩较高一刚入学有很大进步，但数学依然很差.了解了情况后，我约她谈了一次话：
师：F同学，你最近上课老打瞌睡，是什么原因？晚上睡得太晚？
F同学：没有，10点多就休息了.
师那为什么上数学课老打瞌睡？
F同学：老师，实话对您说吧！我在高一一年，数学成绩就从没有上过60分.刚进了这个班后，我的动力挺足，我就想，我一定在这个学期把数学成绩赶上去，到期末起码能考到100分，可是近来上课感觉挺难的，有一点听不懂就不想往下听了，就打瞌睡了，对不起.
师：原来是这样啊！数学基础不好，更要努力，有什么学习困难可以多向周围的同学请教，也可以直接来找老师呀.
F同学：老师，我的数学那么差，还能学好吗？
师你看，你能从普通班进入重点班，这足以说明你是有实力的，只要你自己努力，再加以合理的方法，成绩就一定能上来！
F同学：老师，我想学好数学，可是我现在不知道从哪里下手？
师：刚才听你说学期初你就定了学习目标，那只是一个远期的愿望.要想学好数学，必须一步一个脚印的来.现在我们刚开始学习立体几何，它与高一所学的知识联系不多，你可以给自己制定一个近期的学习目标学好立体几何！学习时遇到困难，可以随时来找我.
经过这次谈话，F同学的学习劲头明显高涨.在后来的接触中，我又及时指导她建立每周、甚至每天的学习目标.4周后，F同学发生了可喜的变化（1）作业质量明显提高（2）能够超前预习练习册上的习题（3）上课主动举手发言了.
虽然F同学的数学基础比较差，但在合理的近期、具体的学习目标指引下，使得她能迅速找到学习的切入点，找到实在的抓手，并在实现具体的学习目标中感受到成功的快乐，进一步促进了其主动学习的愿望.
2.指导学生设置“跳一跳，能摸到”的学习目标
在学期初进行的学生学习情况调查中发现，有86%的学生会为实现学习目标而制订(书面)学习计划，但有58.4%的学生在执行时大打折扣.在与学生的进一步交流中了解到，相当一部分学生之所以放弃计划，是因为学习目标定的不合理.要么太难，只好半途而废；要么太容易，可以毫不费力的完成.高水平的但不能实现的目标，一般对学生没有什么激励作用，反而会造成挫折；而低水平的能实现的目标，又不足以说明学生能力的提升.所以在教学中应该针对学生的能力，指导他们设置“跳一跳，能摸到”的学习目标.
3.教会学生把复杂的学习目标分解成具体的、简单的学习目标
学生不愿意主动完成某些学习任务，尤其是复杂的学习任务，在很大程度上是畏于学习任务太困难、太复杂，预期到自己没有能力完成.若把复杂的学习目标分解成具体的、简单的便于完成的学习目标，就可以消除学生的畏惧感，感到任务具有可操作性，能够靠自己完成.如研究函数与方程时，要求学生掌握用函数的图像求方程的解的个数，这一知识点常常作为把关题出现在考题中.能够考查学生研究函数图像的能力、分类讨论能力、化归与转化能力.为了使学生能够深刻理解，我引导学生把问题分解为如下几个应该达到的目标：
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复杂的目标 |
用函数的图像求方程的解的个数 |
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分项目标 |
（1）会画一些基本初等函数的图像如一次函数 ，二次函数 ，指数函数 ，对数函数 ，三次多项式函数 ,反比例函数 |
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（2）式子变形，构造函数 |
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（3）分类讨论标准如何确定，有无讨论的范围. |
这样一来，学生可以顺利解决每一个分项目标，最后的复杂目标也就迎刃而解了.
2.2 加强数学学法指导
2.2.1学会数学阅读
《数学课程标准》强调基础教育要为学生的终生学习打下基础，以人的发展为本，强调人的基础学力，以适应学生未来发展的需要.数学阅读方法是数学学习的最基本的方法.数学阅读能力是数学学习能力中最基本的能力之一.传统的数学教学，教师把精力放在习题训练上，片面追求一节课的训练密度，所以教师在课堂上以讲代思.即使有些教师提出有思考价值的问题，也没有留给学生自主学习和思考的时间与空间，久而久之，学生自主学习的时间少，思考空间小，阅读能力得不到发展，依赖性却越来越强，自主学习、独立解决问题的信心一天天丧失.因此加强学生的数学阅读能力可以促进学生的自主学习.
1.给学生阅读的时间和空间
学生的阅读能力的提高能促进学生自主学习，反之要培养学生的阅读能力，学生也必须有自主学习、自主探索的时间和空间，所以我改变过去片面强调授受的教学方式，利用学案引导学生自主学习的教学方式.课堂上，当学生的自主学习没有发生操作和理解上的困难时，绝不讲解，即使是讲解也应以启发点拨为主从而让学生在数学阅读中有一个宽松的环境.
2.加强分类指导，提高阅读实效
数学教材的内容可分为四类:概念类、公式定理类、解题练习类、复习小结类.针对不同的阅读内容,我向学生提出了不同的阅读问题,要求学生带着问题,边阅读边思考.同时,教师在课堂教学中进行了适时的指导.
在学生数学阅读能力还没有完全形成的初级阶段，可以通过导读提纲来引导学生自我提问，进而培养学生的数学阅读能力.例如我起草的直线的斜率的导读提纲：
1、 思考直线的斜率的定义 1、直线的斜率的定义
产生的背景是什么？ 已知两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），且x1≠x2，则直线PQ的斜率为k =
特别地，当x1 = x2时，k
2、思考斜率的表达式有无 思考：斜率与P、Q两点的顺序有关吗？
其他形式？有无特殊情况？ 2、直线的倾斜角
（1）定义
（2）范围θ∈
3、思考直线的倾斜角和斜率的 3、直线的倾斜角和斜率的关系
有何关系？ 直线的斜率和倾斜角都刻画了直线的 ，它们之间有以下关系设直线斜率为k，倾斜角为θ，
（1）当直线与x轴不垂直时，即θ≠900，k= ，当直线与x
4、思考斜率与倾斜角 轴垂直时，即θ= 900，k
怎样相互影响？ （2）α为锐角，k ，
α为钝角，k ，
α为直角，k
在以上导读提纲中，从多角度体现数学概念学习的关注点，让学生在阅读中反思、探究、创新，从而构建学生的发展性平台.教师如果能够长期坚持下来，这些提问方式将最终内化为学生的自己的阅读习惯，即由教师提问转变为学生自我提问.这样学生通过自我提问对自己阅读过程加以引导和监控.当学生具备了一定的阅读经验和能力，或者是阅读材料比较适合学生时，教师可以逐步放手，引导学生根据阅读需要自拟阅读提纲，让学生从依赖教师的自学提纲过渡到自己编拟自学阅读提纲，再到不依赖自学提纲，真正提高阅读能力.
3.教授阅读策略，提升阅读能力
复诵策略可以帮助记忆和理解，即在重读一遍的过程中，读出声音来以帮助其阅读理解的策略.通过复诵加深对阅读材料的理解，同时主动重复说出学习材料的内容，检查阅读的效果.复诵的内容不宜过于复杂，对于要求记忆的公式或定理可以采用此种方式进行阅读.教师还可以组织“一帮一”的活动，让学生在给同学说题讲题的过程中加深理解，同时提高自己对阅读活动的监控能力.
组织策略是指学习者将学习材料按照不同特征重新加以分类整理，使线索更加明确.学生可以用文字叙述、分类列表、图示法等不同方法进行整理.
精致化策略是针对刺激作相关的联想或诠释，对材料进行精细加工，使其意义化.即在新信息进入记忆之后，人们进一步附加与之有关的信息的过程，是使新旧知识获得联系的重要手段之一.经过精制的信息由于与已有知识紧密联系，因而容易为认知结构所理解，并在认知结构中获得适宜定位，有利于以后对它的检索.精致的方法很多，类比就是其中的一种.
例如，在阅读一个几何证明题：正方体的截面面积等于被截去部分的三组相对面面积差的平方和（包括退化的情况）时，学生可以联想到类比这个结构的定理1、定理2、定理3和定理4.
定理1：在以D-ABC为直角三面角的四面体ABCD中，第四个面的面积等于直角三面角的另外三个面的面积的平方和，
即 .
定理2：正方体的截面与共顶点的三个面所成的三个二面角的余弦的平方和等于1，即 .
定理3：在长方体中，对角线的平方的两倍等于交于同一顶点的三个面的面对角线的平方和，即 .
定理4：在长方体中，对角线的平方等于长方体三棱平方和，
即 .
这个题目的证明过程可以通过类比上面的一系列定理得出，具体的分析和证明过程不在此处列出了.
4.记录阅读情况，反思阅读效果
学习是能动的过程，学习者会主动构造自己对信息的理解，并采取促进学习的具体策略，其中包括做笔记、划重点、概括观点、列标题等.学生在阅读中，有所感、有所悟或有所发现的或遇到疑难，都应及时在阅读材料上圈点，做记录.要着力发掘并记录问题及处理问题的想法，建立自己的“疑问集”，定期梳理笔记.使它成为学生进步和创新的起点，有关笔记的使用将在下一节详细介绍.
2.2.2 学会记笔记
记学习笔记是提高学生知识水平、丰富学生知识结构、拓宽学生思维空间的重要手段之一，是自主学习者对所学知识精加工的一种重要形式.调查发现，多数学生在初中没有记录数学笔记的习惯，相当一部分学生在高中也没有记录数学笔记的习惯，可见学生对数学笔记的重要性认识不够.即使记笔记，也多是以教师板书为主，而对课堂疑问等其它内容记录较少，科学的数学笔记方式尚待推广.笔者在让学生进行交流的基础上介绍了一些形式比较好的笔记形式.
1.编制问题卡
数学的学习就是问题提出、问题获得解决的过程.在学习中有了问题不要轻易放过，但其中很多不会得到立刻的解答，需经过反复的、甚至是长时间的思考，有时还需要与同学讨论，向老师请教或查阅资料，这时这种便于携带的问题卡可以随时使用，长期坚持下去，就可形成针对个人具体学习情况的问题集，比如一位同学是这样记录他的问题的：
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选修1-1《创新导练》 第86页
3.一个炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸的声音的时间比在B处晚2秒.
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？
（2）已知A，B两地相距800米，并且此时声速为340米/秒，求曲线方程？
问题⒈设爆炸点为P，在A处听到爆炸声比在B处晚了2秒说明了什么问题？
问题⒉点P在怎么样的曲线上？ |
问题卡的设置，充分地体现了学生学习中的难点，解决了学生学习中的一些问题.如此长期坚持下去就可编出针对个人学习情况的问题集，使笔记成为学习中解决问题的词典，从而可经常通过翻检卡片来检查学习状态，加强记忆和对数学思维的锤炼.
2.恰当的眉批
概念是数学知识的脉络，概念的准确理解是数学知识掌握的关键，高中数学概念多，语言科学，数学概念的叙述往往是简洁而严谨，一个关键词就可能隐藏着丰富的数学内涵，在学习过程中，直接在课本的重要处做一些圈点或在空白处做一些注释说明，便于复习时直接对照.例如，一位同学在书上对函数概念进行了旁注：
（1）函数是一个特殊的映射，是两个非空数集之间的一个映射
（2）函数三要素：对应法则、定义域、值域
（3）原象的集合是定义域，象的集合是值域
（4）对应法则可以是一个解析式，也可以是个解析式
还可以用其它方式来表示恰当的眉批，有助于细化知识点，把隐藏的潜台词挖掘出来，并加以注意，加深对知识层次的理解，便于复习迎考！
3.专题记录，归类小结
高中数学有些内容表达较为抽象，理解困难，有些方法分类复杂，变化多端，又难以把握，有些数学题一题多解或多题一解，记录并小结，显得妙趣无穷. 4.记录错题，增强批判能力
在数学学习的过程中做错题是在所难免的，怎样对待这些错题呢？有则改之，作业上、测验中、课外读物上，做错了题目用笔记记录下来，加上心得体会，时常翻翻.例如：
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题：求解函数 的最值 |
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错解∵
∴由基本不等式得
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错解分析∵
∴
∴无解 |
用这种方式可以达到透彻理解知识和避免思维定式的作用，从而达到降低同一方式出错率，提高数学解题能力.这种能力很重要，但是往往会被学生所忽视，让学生自己找错误点，是培养学生批判式思维能力的较好方式.
2.2.3 学会归纳小结
在中学数学课堂中,课堂小结几乎是每节课都不能少的.在一堂课临近结束的时候,全面总结一堂课的重点内容,回顾学习探究的历程,领悟重要的思想方法(包括学习方法),对于巩固课堂学习成果,深化知识网络结构,提高自己的反思能力是十分有意义的.
1. 引导学生自己进行课堂小结
传统的课堂小结通常由教师在快下课是完成，形式单一、只重结果、且强加于人, 难以唤起学生的激情学生至多是在被动地听、记,久而久之,会使学生失去兴趣、甚至生厌.然而按照新课程教学理念,“数学教学是数学活动的教学.”“数学教学活动应是学生经历‘数学化’、‘再创造’的活动过程.是师生的互动过程.”课堂小结既然是课堂教学的组成部分,就必须是数学活动教学的一部分，是在教师的引导下,学生的自主学习、探究活动的继续和深入,学生依然是学习的主人.只是这种学习活动目标更明确,过程更集中,教师的引导作用也更为重要.
在这一过程中我“放手”给学生,同时积极参与其中,适时点拨,正确引导.学生的思考与总结也许不够“完善”,你一言、我一语的发言不够全面,甚至一些学生说不到“点子”上而影响一堂课的“完美结局”,但这毕竟是属于学生自己的“成果”,是学生主动自我建构的结果,从发展学生的认知结构而言,显然更具有意义.其次,构建以学生自主探究、合作交流为特征的课堂小结,为学生搭建进一步探究学习、交流展示的平台,可以更好地培养学生的反思、概括、表述等能力；使学生养成良好的数学学习习惯———善于反思,体验过程,领悟规律；使学生充分享受课堂学习带来的成功的喜悦；将培养学生的课堂学习主人翁意识贯穿课堂教学始终.如在小结“异面直线所成角”、“异面直线的距离”概念的学习过程中,笔者首先引导学生回顾概念建立的全过程,设计思考题:（1）建立概念的必要性（2）建立概念的合理性（3）如何理解概念的本质属性,并让学生用自己的语言表述.经过学生的思考、发言、交流,大家对概念建立的过程及概念本身有了较为深刻的理解.笔者认为,比起教师独白“今天所学的概念是……重点是……大家一定要……”,显然要好的多.笔者认为，比起问题解决本身,学生对思想方法的领悟也许更为重要.
2.加强课后的作业小结，促进学生反思
在进行课堂小结之后，要想进一步提高学生的归纳反思能力，作业后小结无疑是其中较好的一种方式.数学作业小结就是要求学生在每次数学作业后写下本次作业中所涉及的主要知识、解题方法、解题思路、解题策略等方面的收获.它可以加深学生对数学知识的理解从而建构起相关知识的图式"可以明晰数学解题的方法、思路从而促使陈述性知识向程序性知识的转化.可以提高学生解决数学问题的自信心，可以让学生体会到在历尽艰辛、冥思苦想后解决了难题时的成就感，进而培养学生对数学学习的积极的情感体验.开始时我让学生在数学作业后加一个小结的环节，此项工作可带有一定的强制性，作业后没有小结者一律发回补做.小结的主要内容有很多方面：（1）数学知识和学习的策略方面：本次作业所涉及的主要知识(最好总结为一句话)，解题中用到的方法、思路和策略；（2）丰富数学学习的元认知知识方面：为什么要选择这种解法，为什么要这样想；（3）强化元认知体验方面：通过作业自己的最大体会是什么，最成功之处是什么等；（4）提高学生数学自我监控能力方面：还有什么不懂，不懂的地方在何处，如何弄清楚，解题的关键是什么，问题能否推广，能否解决类似的问题，答案是否需要检验，你对老师的建议等.通过教师讲评和优秀学生小结的示范，绝大部分学生从小结中体验到其中的乐趣，小结工作逐渐成为学生的自觉行为.
2.2.4学会预习
自主学习要求学生相对独立地学习，课前预习是自主学习的基本条件，也是学生学习的起点，主要达到三个目的：一是思想上的准备，通过预习，明确学什么，为什么学，从而激发学习动机，端正学习态度.二是知识上准备，通过预习，对教材有一个初步的印象，掌握教材的重点、难点，为提高听课质量打下基础.三是物质上的准备，通过预习，可以知道上课时带什么教材和学习工具，使用什么参考书等.通过预习还可以明确新旧知识之间的联系，为进一步接受新的知识做好准备，从而培养学生良好的学习习惯，提高学生的自学能力和独立思考能力.我在教学过程中，对学生的预习提出了下面几点尝试：
1.指导学生合理安排预习时间
预习时间以课内为主，还是以课外为主？一堂课45分钟，如果让学生认真地看一看数学内容，学生有一个动脑思考的过程，这样少则需要十几分钟，多则需要半个小时（甚至更多），在课堂里势必影响教学任务的完成；如果学生走马观花地看一遍，学生考虑问题则不深、不细，起不了什么作用这样的课堂教学，学生肯定处于被动.针对以上情况，我尝试了以课外为主的预习方法，要求每个学生每天抽半个小时，结合所发的导学案，对第三天的新课进行预习，并要求他们在导学案上写出预习的疑问.我每天收查导学案，了解学生的预习情况，然后针对他们提出的疑难问题进行再备课，提高了备课效果.预习，使学生学习由被动变为主动；使课堂教学与个别指导相结合，有利于因材施教.
例如，在讲授“直线方程的点斜式”一节时，学生通过预习较集中地提出了下列几个问题：
(1)由倾斜角 在取值范围 可知，当 时，直线上任意两点的横坐标 和 相等，但书上说 时斜率不存在，是否矛盾？
(2)书中说，“当 时， ,当 时直线平行于 轴，它的斜率不存在”，应当是“当 时， 即斜率不存在，当 时，直线平行于 轴，它的斜率 ”.
（3）直线方程与斜率的关系是什么？为什么在建立直线方程之前，要研究直线的斜率？掌握了斜率就确定直线方程了吗？
当然，课外预习并不排除有些简单的内容可以放在课内进行，例如，在讲授“两直线平行，垂直条件”一课时，由于内容简单，笔者便在课内留出10分钟，让学生预习，同样收到较好的效果.
2.指导学生学会预习不同的课型
（1）基础知识课的预习
基础知识课是课程标准对“概念课”的重新命名，即我们过去讲授过的“新授课”即基础知识课.这一类课的特点是新知识的传授，主要内容是概念与例题，概念包括定义、法则、公式、定理、性质等一系列内容.学生在预习时.要求能够认真阅读课本知识内容，在预习阅读过程中.重点做好以下三个方面的工作:其一、明确数学知识来源于实际生活.又服务于实际生活，许多数学知识是现实问题的概括与抽象，使学生明确这一点是为了把枯燥无味的知识变得生动兴趣化.其二、重点理解知识的推导过程，知识的发生和发展过程.使学生通过预习不仅知其然，更应该知其所以然.对学习有困谁的学生，在预习时遇到不懂的地方，要求进行标注这些疑难问题.通过老师的课堂讲解逐步得到解决.有严重学习困难的学生，则要进行面对面的指导，使其达到接受基本知识的要求.其三、预习时让学生注意数学的三种语言即自然语言、符号语言和图形语言的有机结合.教学离不开符号语言，特别是几何知识，要求学生在预习时有意注意自然语言与符号语言、图形语言的相互转化.
（2）例题课的预习
例题课要求学生在预习过程中首先要发现例题所用到的知识点，这些知识点包括哪些定义、法则、公式、性质、定理.另一方面是例题的解题方法，让学生首先看懂课本例题的思路，然后思考是否有其它的方法，在解题思路上让学生换一个角度是否能解决问题.让学生探索一题多解、一题多变、多题一法的计算，并从中比较得到简洁明快的解题思路.如果学生没有新的突破，学生就会有目的地听教师讲解，通过老师的讲解拓展思路与方法，从而获得源于课本又高于课本的新收获.
（3）复习课的预习
引导学生参看课本知识提纲，让学生学会自己将知识系统化，在预习总结过程中体现:①知识概念的总结；②数学思想与方法的总结，如转化思想、换元思想、消元思想、整体代换思想，逆向思维等；③善于寻找解题规律，逐步学会知识间的融汇贯通，要学一题，会一类，达到举一反三、触类旁通的效果.
2.2.5 学会复习
经过调查和访谈之后发现，超过80%的学生只在考试之前进行系统的复习，只有不到20%的学生能在一单元结束后及时复习.复习的方法单一，多数是看看课本，阅读一遍笔记，复习效率低下.为此笔者做了如下尝试.
1.合理安排复习时间
教学中发现，许多学生不会安排复习时间.每到大考，常常复习不完就忐忑的进入考场.因此，我建议学生建立自己的复习计划，将数学复习分成阶段性计划，分到每天、每周、每单元进行，并利用一些自我监督技术保障计划的持续进行.
2.运用提纲进行单元复习
为了加深学生对知识的掌握，使学生头脑中形成一定的层次网络.教师要逐渐引导和培养学生知识的结构化系统化的能力.
例如，笔者在教完“立体几何这一章内容时，从组成空间图形的点、线、面出发，引导学生系统地总结其内容.为了引导学生的复习小节，笔者编排了一则未完成的提纲，引导、示范学生完成
一、点的概念(初中己学)
二、直线的概念(初中已学)
三、平面的概念
1、平面的定义:
平面的表示法:
2、平面的基本定理(三个)
(l)基本定理一:
(2)基本定理二:
（3）基本定理三:
3、基本定理三的推论(三个)
推论一:
推论二:
推论三:
四、点、直线及平面之间的关系
4、点与点之间(初中已学)
5、点与直线之间(初中已学)
6、点与平面之间
7、直线与直线之间
(1)相交(初中已学)
(2)平行
(3)异面
8、直线与平面之间
(l)平行
(2)相交
(3)垂直
9、平面与平面之间
(l)平行
(2)相交
(3)垂直
五、多面体--一点、直线及平面的常见的组合
10、棱柱
11、棱锥
12、棱台
六、其他一些简单的规则体------旋转体
13、圆柱
14、圆锥
15、圆台
16、球
在学生完成知识网络化后，再出一份试卷作为课后作业，并从中挑出几份试卷经修改组合而形成单元测验卷，供同学们测验使用.这既培养学生概括总结能力，又使其更好地理解了知识发展的内在规律.这一过程都是以学生为主体进行的，教师只是提供帮助，教师和学生的角色都得到了转变.
3.巧用错题集
我要求学生把作业、测验的错题摘登集中成错题集.但是当错题越来越多时学生却把错题集看成负担，尤其是学习习惯差、成绩差的学生错题多，困难本来就多，怕做作业，偏偏错题多，对他们来说思想上有抵触，时间上难安排.虽然执行起来有一定的困难，但我把它看成是端正学习态度，培养好习惯的好时机.为此，我采取了如下措施：
（1）明确目的，热心鼓励
我明确告诉学生，用错题集，目的是培养良好学习习惯，减少错题.表面上看是增加了麻烦，以后就可以减少麻烦，还可以促使自己认真学习、认真作业、不做错题.明确目的，知道好处后，学生的自觉性有了提高.一段时间以后，学生能够利用错题集归类、简化、举一反三，并把老师不知道的错题都抄上，订正好、分析好.
（2）抓紧抓实，持之以恒
一开始，每天集中进行，按要求严格督查，先完成的先休息，错题多的适当延长时间.经过一段时间以后，学生逐渐打消了侥幸不做的心理，形成习惯.此时我还住时机教育学生上课认真听讲，不懂就问，不留疑点，争取不出现或少出现错题.
（3）指导方法，训练思维
我要求学生分析错题特点，既启发学生弄清题目的要求，又指导学生学会分析错题的方法.要求学生认真看错题解错的具体过程和关键点，帮学生学会过程反思，通过反思弄懂问题，学会学习.
2.3 培养学生的元认知学习策略
与一般的认知策略不同，元认知对学习主要起计划、监控和调节作用.学习者在面临学习任务之前及实际的活动展开时，提出与学习有关的问题和制定学习计划，监控学习的过程，维持或修正学习行为，评价学习结果等都体现了其元认知能力.教授一些元认知学习策略，可以促进学生自主学习能力的发展.
2.3.1 自我监控策略
自我监控是个体对自身行为某些方面的有意识的关注，在学习过程中，自我监控是指个体利用某些标准评估自己学习进展的过程.它是一种执行过程.它是自主学习的关键过程，个体只有对学生进行自我监控时，自主学习才成为可能.研究表明，自我监控能够改善学生的学习成绩和课堂表现.自我监控的对象不同，自我监控的方法有各种各样.例如为了增强作业自我监控而设计一份《作业自我监控表》
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作业自我监控表 |
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1、布置的作业都记下了吗？ 是 否
2、今天需要完成的作业有 |
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3、家庭作业完成了吗？ 是 否
4、做作业用的时间是 （1） ，（2） ，（3）
5、有哪些地方还没有理解？ |
2.3.2 自我评价策略[4]
自我评价既是自主学习的一个重要成分过程，也是自主学习能力的一个表现侧面，齐莫曼(Zi~erlnen，1998)指出，自我评价是一种重要的自主学习策略；自主学习者使用自我评价的次数明显多于学习自主性差的学生，自主学习者寻求自我评价，学习自主性差的学生避免自我评价.在教学实践中笔者设计了如下的自我评价表，让学生在课后对自己的学习行为作出评估，在一定程度上增强他们的学习自我评价能力.
学习自我评价表
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一 |
二 |
三 |
四 |
五 |
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1、上课的准备是否充分？ |
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2、家庭作业是否按时完成？ |
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3、上课是注意力是否集中？ |
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4、课堂发言是否积极？ |
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5、不懂的地方是否主动请教他人？ |
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6、课堂练习正确率如何？ |
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7、课外学习时与同学合作了吗？ |
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8、课堂上的学习任务完成了吗？ |
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9、学习方法的使用情况怎样？ |
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10、今天的学习与昨天相比怎样？ |
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11、有无其他感受，请写下来： |
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备注：好、中、差分别记3、2、1 |
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此外，笔者还采取了一些对学生的自我评价能力有促进作用的措施：
1.让学生在每次学习前设置具体的行为目标，然后让他们参照这些目标来检查自己的成就情况.
2.提供一些具体的标准，让学生对照这些标准来评判自己的学习表现.
3.在某些情形下，教师延迟给学生反馈，让学生首先有机会对自己的学习进行评价.
4.鼓励学生对自己的学习作出现实的评价，当学生的自我评价与教师的评价相吻合时，对他们进行强化.
参考文献
[1]高建江,杜拉.自我效能的形成与发展[J].心理科学,1992(6).16.
[2] 史松军.有效开展数学阅读培养自主学习能力[J].教学与研究考试周刊,2010(1).7.
[3] 田宝、赵志航.学习目标设置的理论和方法[J].中小学教教材教学，2003（5）.19.
[4]庞维国.自主学习——学与教的原理和策略[M].华东师范大学出版社,2008：4, 168～170.
附录.调查问卷
徐州二中数学学习情况的问卷调查
同学们，你们好!本次调查是想了解大家在数学学习方面的一些情况，请每个同学都按照自己在数学学习过程中的实际情况来回答.此卷为不记名问卷，调杳结果仅供研究之用，请同学们放心作答.每道题目只写一个最符合你学习情况的答案，真实的回答就是最好的答案，请不要漏填.最后集中填写答题卡内.谢谢合作!
1、你的性别（ ）A、男 B、女
2、你的数学成绩在班级中的成绩属于（ ）
A、前十名 B、中间 C、靠后
3、如果老师不布置作业，你（ ）自己能主动看书或找习题做.
A、经常 B、有时
C、很少 D、从来没有
4、当遇到有困难的数学题时，你是怎么解决的？ ( )
A、想挑战困难，自己解决
B、尝试解决，实在不会才找他人帮助
C、稍微思考，若没有思路就寻求他人帮助
D、稍微思考，若没有思路就放弃
5、你认为自己学习不好的原因是（ ）
A、反应慢，数学能力欠缺
B、不努力 C、基础差
D、还没找到适合自己的学习方法
6、你认为课堂上学习的东西有何作用？（ ）
A、提高自己的综合素质 B、应付考试
C、没有多少用处D、一些必要的知识
7、你对数学感兴趣吗？（ ）
A、非常感兴趣 B、比较感兴趣
C、有时感兴趣 D、从来没有兴趣
8、你的学习内容（ ）决定.
A、完全由自己 B、多数由自己
C主要由老师 D、完全由老师
9、学习成绩应该达到什么标准，由（ ）决定.
A、自己 B、自己和老师
C自己和父母 D、父母
10、在学习时间的管理上（ ）
A、经常对学习时间进行合理分配，统筹安排，学习时间比较固定;
B、一般是随机安排学习时间，每天必须的学习时间变化比较大;
C、.学习时间的长短经常受到学习状态的影响（如：心情好，有兴趣，学习时间延长；疲劳时，有厌学情绪时，学习时间缩短）.
11、今天的学习任务没能完成，留到明天去完成.（ ）
A、经常 B、有时
C、很少 D、从来没有
12、 你在课前预习吗？( )
A、总是自觉预习
B、老师有布置才预习
C、很少预习 D、从不预习
13、对课上学习的内容，你能课后及时复习.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
14、把课本上的重点内容，用各种符号标出来.( )
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
15、听老师讲课时，对重点内容做一些笔记.( )
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
16、注意观察、喜欢借鉴他人的学习方法.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
17、有些学习内容很难掌握，实在理解不了，也就算了.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
18、在学习过程中，你记录自己的学习情况，监督自己是否按计划进行.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
19、作业只要认真做完了，就不再做细致的检查.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
20、一节课的内容掌握得好不好，课下要想一想.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
21、你对当天的预习、听课、讨论、作业等学习活动作出自我评价（完成的好坏，自己是否满意）.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
22、对于可做可不做的选做题，你（ ） .
A、经常力求都做出来
B、有时要求自己做出来
C、很少要求自己做出来
D、从来没有做
23、学习时（ ）感到力不从心.
A、经常 B、有时 C、很少 D、从来没有
24、自习课上， 老师不要具体规定学习内容，你对此（ ）
A、完全赞同 B、有些赞同
C、有一点赞同 D、不赞同
25、上课时，你（ ）注意听老师提出的学习要求.
A、经常 B、有时 C、很少 D、从来没有
26、因为玩的时间太长，作业拖到很晚才做完（或来不及做作业）.（ ）
A、经常 B、有时 C、很少 D、从来没有
27、你认为预习对上课有帮助吗？（ ）
A、总是有帮助 B、多数有帮助
C、有时有帮助 D、没有帮助
28、学一段时间后，你是否尝试利用课本的目录或笔记来检查自己掌握的情况（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
29、为了加深对学习内容的理解，会主动多做一些练习题.( )
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
30、对学习过的内容进行分类、比较.( )
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
31、考虑自己的学习方法是否还要改善.（ ）
A、经常考虑 B、有时考虑
C、很少考虑 D、从不考虑
32、上课时如果感到不舒服，就不再注意听课了.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
33、遇到难题时，如果找不到解题思路就乱想乱猜.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
47、在解题过程中，忍不住看书后面的答案要点.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
34、考试或作业出现许多错误时，仔细分析错误原因.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
35、自己对一个阶段的学习情况作总结.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
36、在课堂上，你对老师〔或教材上)的例题解法( ).
A、先自己思考，努力寻求规律
B、经常想有没有别的解法
C、满足于听(看)懂解法
D、从不自己思考，也不管别人的解法
37、你（ ）想凭自己的能力可以学好数学.
A、经常 B、有时
C、很少 D、从来没有
38、完成老师布置的作业后，你（ ）给自己找一些习题做.
A、经常 B、有时
C、很少 D、从来没有
39、你制定的目标（ ）
A、很少能完成 B经常完不成、
C、有时能完成D、 能完成
40、只有临近考试时才系统复习以前学习的知识.（ ）
A、经常 B、有时
C、很少 D、从来没有
41、做作业时，脑子不自觉地开小差.（ ）
A、经常 B、有时
C、很少 D、从来没有
42、你能在预习时先看课本，再做课后习题或思考老师提出的预习要求（检查预习效果）吗？（）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
43、对于数学作业，你通常的做法是( )
A、经常先看书复习，然后完成作业
B、有时做到先作业，然后复习
C、只完成作业，不做复习
D、未完成作业，也不复习
44、对一个单元或一章中学过的知识，列一个简要的提纲帮助理解记忆.( )
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
45、自己归纳、整理以前学过的知识.( )
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
46、尽管不喜欢课上所学的内容，但是为了取得一个好成绩也努力学习.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
47、在解题过程中，忍不住看书后面的答案要点.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
48、在解题过程中，来回查看解题步骤是否有遗漏.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
49、你希望课堂上（ ）
A老师讲解越详细越好
B老师讲清重点，多留些时间给学生讨论学习
C全让学生自学，教师只指导
D、独立支配学习时间
50、你（ ）感到自己的学习潜力很大.
A、经常 B、有时
C、很少 D、从来没有
51、做作业时，你（ ）把难题先放在一边，最后再做.
A、经常 B、有时
C、很少 D、从来没有
52、你( )按照自己的学习计划进行学习.
A、从来没有 B、很少
C、有时 D、经常
53、你学完一单元(章节)后是否进行归纳整理？( )
A、每学完一部分都要整理总结
B、有时 C、很少
D、从未整理总结
54、学完一堂课，会想一想本课学了几点内容.( )
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
55、老师在讲课时，自己在想其它事情，没有听老师讲的内容.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
56、作业完成后，自己先检查一遍再交给老师.（ ）
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
57、你认为你能（ ）出色地完成老师布置的作业和任务.
A、经常 B、有时
C、很少 D、从来没有
58、主要是通过（ ）来确定知识点的重要程度.
A、看参考书 B、同学帮助
C、自己听课感觉
D、 老师的提示
59、你（ ）觉得父母对自己的要求太高，没有能力达到他们的要求.
A、经常 B、有时
C、很少 D、从来没有
60、为了加深对概念、原理的理解，补充一些例子.( )
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
61、为了实现你的学习目标，你会制订(书面)学习计划并加以执行吗？ （ ）
A、制订并执行
B、制订，但执行时大打折扣
C、从不制订
D、没计划，教师讲到那就学到那
62、解完一道题题后你能进行解题后的反思（ ）
A、经常进行 B、有时进行
C、很少进行 D、从不进行
63、对于考过的试题，认真分析、保存错题，供复习参考.( )
A、经常这样 B、有时这样
C、很少这样 D、从不这样
64.当你数学考试成绩不理想时，你认为其原因是( )
A、自己平时不够努力
B、运气不佳
C、 能力不强
D、 试题太难
数学学习的不同类型及其教学策略
徐州二中 张永顺
摘要：
学生在学习数学的过程中，由于学生认知方式的不同，学生呈现出不同的学习类型，探究数学学习中不同类型的特点及其影响方式，并据不同的类型提出不同的教学策略，以达到促进学生学习的作用。
关键词：数学学习 类型 教学策略
笔者在数学教学实践中发现，学生在学习数学的过程中，不仅仅是表现出不同阶段时的共同性，更多的时候是表现出学习方式的差异性。例如，有些学生喜欢听教师讲课，在老师的引导下解决在数学学习中碰到的一些问题，有些学生喜欢自己看教科书或参考书；有些学生喜欢与别的学生讨论，在讨论中发现和解决问题，有些学生则偏爱自己独立学习；有些学生回答问题时张口就出，不经过深思熟虑，有些学生则慎之又慎，确认自己的答案无误后才肯回答出来；有些学生解题速度较快，有些学生则能用不同的方法解同一题。这些差异的背后原因是什么？对学生自身有何影响？面对不同的学生我们教师应该采取什么样的教学策略，才有助于学生的学习？本文将就这些问题进行研究，并尝试提出问题的解决方法。
一、学生学习的不同类型
据教育学及心理学的研究，上面所列举的各种差异实际上是认知方式的差异。认知方式，又可称为认知风格，是指学生偏爱的加工信息的方式，表现在学生对外界信息的感知、注意、思维、记忆和解决问题的方式上。从认知方式的不同可可把学生分为以下几种类型：独立型与依赖型、冲动型与稳重型、具体型与抽象型等三种类型。
（1）独立型与依赖型
独立型与依赖型是数学学习中两种普遍存在的学习类型。具有独立方式的学生，在解决数学问题时，常常参照自己已有的数学知识，不易受其他人或其他解法的影响和干扰，这是由他们的认知方式决定的，他们在解题思路上不同于周围的人，至少是不会去主动的去参照别人，更倾向于在更抽象的分析水平上加工，独立对事物作出判断。而依赖型的学生对数学问题的加工往往倾向于以外部信息为参照依据，会过多的考虑老师或其他学生的解法，借鉴别人的解法，很少主动地去创新。他们的态度和自我知觉更易受周围的学生，特别是“权威人士”的影响和干扰，善于察言观色，注意并记忆言语信息中的社会内容。
独立型、依赖型与学生的学习有着密切的关系。研究表明，独立型学生的学习动机往往以学习内在动机为主，而依赖型学生更多地依赖外在反馈和刺激。独立型者善于运用理性分析的知觉方式，而依赖型者则偏爱非分析的、笼统的或整体的知觉方式，他们难以从复杂的数学问题中区分问题的若干要素或组成部分，把握不住解决问题的重点。
另外，独立型与依赖型学生对数学教学方法也有不同影响。独立型学生易于给无结构的数学有关材料提供自己结构，使其融于自己的数学知识结构中，比较易于适应结构不严密的数学教学方法。反之，依赖型学生喜欢有严密结构的数学教学，因为他们需要教师提供外来知识结构，然后融于教师的知识结构中，并且需要教师的明确指导与讲解。
（2）冲动型与稳重型
稳重与冲动的认知方式反映了个体信息加工、解决问题过程的速度和准确性。稳重型学生在碰到数学问题时倾向于深思熟虑，用充足的时间考虑、审视问题，权衡各种问题解决的方法，然后从中选择一个满足多种条件的最佳解题方法，因而错误较少。而冲动型学习者则倾向于很快地对数学问题作出检验假设或者根本就不作任何的假设，只是根据问题的部分信息或末对问题作透彻的分析就仓促做出决定，反应速度较快，但容易发生错误。冲动与稳重涉及在不确定的情境中，不同学生对自己解答问题的有效性的思考程度，以及对其判别标准题的反应时间与精确性等。这里应当指出的是，并非所有反应快的学生都属于冲动型，有的可能是由于对某些数学问题很熟悉，或者是思维很敏捷的缘故。
笔者在教学中还发现，稳重型学生能够较好地约束自己的日常行为，掩饰自己的成功和得意，比起冲动型学生，更能抗拒诱惑。稳重型与冲动型学生的差别还在于，稳重型学生往往更易自觉地或在别人要求下对自己的解答作出解释，直到别人承认自己的解答;而冲动型学生则很难做到，即使在别人要求下必须作出解释时，他们的回答也往往是不周全、不合逻辑的，这是很自然的，因为当初他们在做出解答的时候就没有仔细思考。
在学习内容方面，稳重与冲动两种方式存在明显差异。比如，稳重型学生在做阅读类题目的时候成绩好，基础测验及推理测验成绩也好于冲动型学生，而且在问题方案设计中成绩优秀。相比之下，冲动型学生往往阅读困难，较多表现出学习能力缺失，学习成绩常不理想。
(3)具体型与抽象型
学生在对数学问题进行分析加工时，由于采用的概念水平的高低不同，可分成具体型和抽象型。一个抽象型风格的学生，能够看到某个数学问题的多个方面，可以避免刻板现象，并对问题进行抽象程度较高的思考。抽象型学习方式则在解决问题过程中常表现出发散思维的特征，表现为个学生的思维沿着许多不同的方向扩展，使观念发散到各个有关方面，最终产生多种可能的答案而不是唯一正确的答案，因而容易产生有创见的新颖观念。具体型学习方式是指个体在解决数学问题过程中常表现出集中思维的特征，表现为搜集或综合信息与知识，运用逻辑规律，缩小解答范围，直至找到最适当的唯一正确的解答。一般情况下，具体型的学生能够专注于要解的数学问题，思路较狭窄，一旦思维对路，能够较快地给出解答，否则，就无从下手，在“原地不动”。而具有抽象性思维的学生在上述情况下，则能够随机应变，换用不同的方法解同一题。
在日常的教学中，学生抽象思维的培养是教师教学的一个重点。它的思维目标发散，思维方向四面八方扩散，他从给定的信息中产生新的信息，获得多种可能的结果，同时，还能培养思维的广阔性、探究性、和创造性，十分有利于扩大学生的视野，深化知识，举一反三、触类旁通，提高解题能力。
从以上分类可以看出，三种类型之间其实并不是相互独立的，而是相互联系，互相渗透的，我们在具体研究的时候，完全可以放在一起综合考虑。
二、不同类型的认知方式对学生数学学习的影响
认知方式的差异对数学学习的影响不仅在程度上不同，而且起作用的方式也不同。但我们应该明白认知方式没有优劣好坏之分，只是表现为学生对数学信息加工方式的某种偏爱，主要影响学生的学习方式，具体表现在：
第一，对学生对所使用的感觉方式的影响。有的学生习惯于用听觉学习，有的习惯于用视觉学习，有的则更喜欢通过触摸或各种感觉的结合来学习。
第二，对学生学习环境的影响。有的学生爱在宁静的环境中学习，有的则喜欢在有背景声音的环境中学习。
第三，对学习内容组织程度的影响。依赖的学生喜欢别学生向他们提供结构严密的数学教学，独立的学生则讨厌"菜单式"的指导，爱自由自在的学习，较易适应结构不严密的数学教学。
第四，对学习内容的影响。如独立的学生喜欢挑战自己没有见识过的数学问题，依赖型的学生则倾向于熟悉的问题或类似的问题。
三、不同类型学生的教学策略
研究学生认知方式，分清学生数学学习的不同类型，可以帮助教师辨清学生的认知风格并据此制定相应的教学对策。因此，必须根据学生的特点与作用，不断改革教学，努力因材施教。
首先应该努力培养学生的数学思维能力，降低不同学习风格的负面影响。教师在日常的数学教学中，应注意进行有关学习策略的训练，自觉地运用一些有效的教学策略，如认知策略、元认知策略、资源管理策略等，通过有关技能、策略、知识方面的补救措施，弥补学生因学习方式的不同而产生的负面影响。如在进行有关习题教学时，可以采用自我提问的方法训练学生对所研究知识进行自我调整。为了使学生习惯于使用所学的“解题策略”，可以让学生自我拟订一个自我提问单（当然，针对不同年级的学生，提问方式可以有所改变）：
1、我用声什么方法来表征这个问题？那种方法最合适？
2、解题时，我进行双向推理了吗？
3、我注意发散思维和集中思维了吗？
4、（对于困难的问题）我归纳总结并反思了吗？
其次，采用适应认知差异的教学方式，努力使教学方式个别化。例如，可以采用掌握学习的教学方式。掌握学习是指向不同能力水平的学生提供最佳的教学和给予足够的学习时间而使绝大多数学生达到掌握的程度。又比如，根据独立型与依赖型学习者的特点，我们可以提出相应的教学对策。以数学阅读教学为例，独立型学生善于理解、消化题目中的具体细节或部分，但往往把握不住题目的主题，不能从整体全面考虑;而依赖型者正相反，他们能掌握题目总的框架结构或基本思想，但对题目中的具体细节不能分析清楚。所以在教学中，应着重训练前者的整体综合能力，如要求他们在分析的基础上揭示题目的要点;而对后者则应着重训练其对细节的分析，如要求他们理清题目脉络，段落中的每一个句子，并帮助他们理清思路，促进理解，。由于象阅读、推理之类的任务需仔细分辨概念，粗心大意的学生处于不利地位，尤其是当一个问题的答案不能直接得到，需要从一开始就仔细阅读材料，注意分析各种可能的条件时，更是如此。为了帮助冲动型学生克服他们的缺点，可以创造一些训练方法，对他们的不良认知方式进行纠正。实践研究表明，单纯提醒学生，要他们在做数学题的时候慢一些作出反应，仔细考虑后再作出解答，但效果并不明显，对他们并无帮助。但通过教他们具体分析、比较材料的构成成分，注意并分析视觉刺激，对克服他们的冲动型认知行为较为有效。也有教师让冲动型学生大声说出自己解决问题的过程，进行自我指导，当获得连续成功以后，由大声自我指导变成轻声低语，而后变成默默自语。目的是训练冲动而又粗心的学生有条不紊地、细心地进行学与和解决问题。这种训练收到了较好效果。
第三、教师利用创造性教学方法，激发学生的思维。意识是个体认识世界和改造世界的根本，没有意识，人就什么也干不成。人们的知觉和思维仿佛有一种“惰性”，这种惰性表现为沿袭固有的思维惯例、无批评意识等现象。比如，在数学抽象思维的培养过程中，就是要从破除学生对事物认识上的各种功能固着和思想惰性入手，强化思维发散的意识。学生强烈的思维发散意识对于发散性思维能力的提高正如一件物体放在斜坡的高处，它将滑向低处，是一种重要的心向。为了培养学生的思维发散意识，诱发他们的思维发散行为，教师的教学设计要有创意，采取创造性的教学，通过自己的教学语言、板书和教学程序来体现思维发散的魅力，并达到巩固知识、激发创造动机的双重目的。
最后，运用适应认知差异的教学手段，激发学生的兴趣。比如计算机辅助教学的广泛运用，可以把要进行的数学教学内容，通过文字、图片、幻灯片、电影片、录像带等载体，按程序编写成的材料置放在计算机中，学生可利用计算机，按自己的学习基础和需要自定进度进行学习。计算机能自动判断答案正确与否，并能将学生的学习过程、理解水平记录下来，及时反馈。它能根据学生的反应，必要时再引进补习或补充教材。学生能控制信息呈现的进度，如果对某一点不清楚，可以请求重放或提供参考材料，以得到个别指导。计算机辅助教学突出的优点是，学生能根据自己已有的知识基础、接受能力、学习进度和学习方式选择指令程序，因学生而异地自定目标进行学习。能力强的学生可提前跨入下一个程序，进行超前学习。能力较差的学生，则可以放慢速度。
对数学概念教学的思考
徐州二中 张永顺
摘要：数学概念是学生学习数学知识的基石，是培养数学能力的前提．新课程背景下，由于教师教学方式和学生学习方式的改变，概念学习在一定程度上被人为淡化．这种被淡化的现象是否符合新课程精神，是否有利于学生的学习，本文试着做一些思考，以求能在数学概念学习内容、过程及方法策略等方面做浅显的探索，希望能对数学概念的学习有一些益处．
关键词：新课程； 数学概念； 策略
前不久，在学校里一次教研会议上，我们教研组的老师就概念教学的问题争论了起来，总结起来，无外乎二种观点：一是在新课程背景下的概念学习应该淡化，不能再象课改前的那种死抠概念，比如全等三角形的概念，不一定要注意点、边、角的的对应，学生能够识别哪两个三角形全等就行了；另外一种观点是新课程背景下的概念学习不仅不应该淡化，而且应该强化，应该采用各种行之有效的教学形式来加深对概念的理解．老师们的争论引起了我对数学概念学习的思考．
1. 对有关概念的解释
1.1 数学概念的内涵和外延
所谓把数学概念弄清楚了，就是明确了它的内涵或外延．内涵指的是事物的本质特征或属性，区别于其他事物的特征或属性；外延即具有此属性的事物全体或具有此属性的事物组成的集合．举例说明：
“梯形是有一组对边平行的四边形”，梯形这一概念的本质特征即“有一组对边平行”，“一组对边平行”就是梯形这一概念的内涵；具有这一特征的四边形全体即梯形这一概念的外延．
“平行四边形是两组对边平行的四边形”，平行四边形这一概念比梯形这一概念的内涵增加了，但外延减少了．内涵、外延同时发生变化．
1.2 数学概念的分类
数学概念分类可以从不同的角度进行．
（1）从数学概念的具体内容来分，可分成属概念和种概念，或称上位概念和下位概念．
例如梯形概念和矩形概念相比，前者是属概念，后者是种概念，或梯形是上位概念，矩形是下位概念，因为梯形所含对象宽得多，也即梯形外延包含矩形外延，同时梯形概念的内涵只有一条：四边形有一组对边平行；而矩形概念的内涵则有包括上述一条在内的三条：（1）四边形有一对对边平行；（2）四边形的平行对边还相等；（3）四边形有一内角为直角．
（2）从教学内容的实际要求来分，可分为三类：一类是既要精确掌握，又为学生的心理水平所容易接受的；第二类是既要及时精确把握，又较难为学生所接受的；第三类是虽较难为学生所深刻理解却也不一定非当时就必须达到精确把握程度的．
这种分类实际上我们在教学时所经常使用和考虑的，它有助于我们根据不同的要求制定相应的教学策略．这也可以在一定程度上解释我们在教研会议上的争论问题：即在概念教学上不存在淡化的问题，只是不同的概念的教学有不同程度的要求，或者采用不同的教学方法，目的都是为了更好地掌握概念．
数学概念是学生学习数学知识的基石，是培养数学能力的前提，数学概念的重要性毋庸置疑．
2. 数学概念教学的过程
数学概念一般较抽象，教者难教、学者难学．下面我就以义务教育课程标准实验教科书苏科版七（上）中“绝对值与相反数”的第一课时进行说明．主要从概念的“情景引入”、“探索与归纳”、“巩固应用”、“拓展与延伸”等四个方面阐述如何让学生切实学好数学概念．
2.1 概念的情景引入
我们都知道：新颖醒目的广告可唤起人们的购买欲望．同理，富有情趣的课堂导入可激发学生的求知欲望．概念的引入也有多种形式：如联系实际引入；形象、直观的引入；通过数学问题引入；运用比较方式引入；利用新旧知识铺路搭桥的引入……等等．而绝对值这一概念是学生学了正负数及数轴的基础上进行教学的，是一节比较抽象的概念课，没有生活的模型为依托且理解起来困难重重．因此，我在教学的时候是这样引入的；
师：同学们，你们的家在学校的哪一边？
（学生有的说东边，有的说西边……）
师：同学们，我们从家到学校有没有一定的距离？
生：有．
师：无论你们家在学校的哪个方向，学校和它之间都有一定的距离．同学们再想一想，从你们家坐汽车向东走或向西走是不是都耗油？
生：是．无论向哪个方向走，汽车都耗油．
师：体育课上我们投铅球，你可以在规定的范围内朝任意一个方向投，铅球的着落点和你所投球的地点有没有一定的距离？
生：有．无论投到哪个方向，它们之间都有距离．
师：同学们，以上我们举的例子都是日常生活中出现的量，汽车耗油、投铅球的距离和方向有关系吗？
生：没有．
师：让我们来看一看一个具体的例子．
教师利用多媒体演示书上的引例，让学生再一次明确：小明和小丽上学所花的时间，与各家到学校的距离有关，而与方向无关．同时，用数轴将学校、小明家、小丽家的位置表示出来．
联系实际生活，学生感觉亲近、熟悉，使学生充分相信日常生活中确实有一些量和方向无关，也是学生产生疑问：“到底什么是绝对值？和上面的例子有什么关系？”从而为学习新概念打下基础．利用多媒体演示，使学生产生学习和探究的兴趣．这样的导入，既让全部学生复习数轴与正负数的概念，又让学生感到新鲜、有趣，从而进入最佳的学习状态．
2.2 概念的探索与归纳
概念的归纳可以通过各种方式进行，可以结合实物来理解描述性定义的概念；通过提示关键字、词来剖析概念；通过对比来明确概念……等等．数学概念都是死的，是不能再创造的，学生学习数学概念都是学习前人的经验，进而转化为自己的精神财富．传统的教学往往是让学生死记概念，再机械应用，但随着时间的推移，学生的记忆就会很快的被遗忘．数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的数学活动中理解和发展，所以概念的明确应该关注学生的学习过程，提供足够的材料、时间和空间，让学生通过观察、比较、合作、交流、讨论等活动再引导学生归纳出概念的定义．在让学生归纳绝对值的概念时，我做了如下处理：
师：如果把学校门前的大街看成一条数轴，学校看作原点，1km为一个单位长度，你能将小明家、小丽家和学校的位置在数轴上表示出来吗？动手操作一下．
生：能．（学生动手操作）
师：从数轴上看，那家离学校近？哪家离学校较远？
生：小明家．
师：请同学们在练习本上画一条数轴，并观察表示3的点与原点之间有几个单位长度？
学生画并回答：有3个单位长度．
师：哪一个数表示的点与原点也相距3个单位长度？
生1：-3与原点也相距3个单位长度．
师：刚才这位同学的说法对不对？有什么问题吗？
（多数学生很茫然．）
师：-3和3是两个数，属于代数范畴，而点、原点是几何概念．数与点之间有距离吗？
生：没有．
师：我们应该怎么叙述刚才那句话呢？
生（豁然开朗）：表示-3的点与原点相距3个单位长度．
(在学习过程中及时解决学生认知模糊点，让学生自己发现，并能运用正确的数学语言叙述．)
师：同学们说得非常好！所以在这时我就说+3与-3的绝对值相等，+5和-5的绝对值也相等．同学们，就刚才我们所讲的内容，你们猜一猜：什么是绝对值呢？大家分组讨论．
(培养学生的合作能力和竞争意识．)
生1：我认为绝对值是指两个地方之间的距离．
生2：我认为绝对值是指两个点之间的距离．
师：谁能联系数轴再具体说一说？
生2：我认为一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点之间的距离．
师：这位同学说的非常好！你们能靠自己的理解和和你的同桌互相交流一下吗？
学生积极响应，教师板书绝对值的定义．
让学生自己概括归纳出数学概念的定义，有利于学生在实践中感悟数学概念的生成过程，培养学生的语言表达能力．这样在学生经历自己的探索建构中习得的概念，才能学以致用，才会终身难忘．
2.3 概念的巩固应用
学生数学概念的建立不是一蹴而就的，可以通过复述概念，在具体运用中、在概念系统中巩固概念并加深理解、掌握．巩固概念的方法也是多种多样的，实际应用时更多的是设计多种类型的练习，我觉得设计时一定要注意一个原则：一定要让学生全员参与并感到有趣．练习尽量要做到让学生精练，题目设计应能紧扣所学概念，达到理解巩固概念的要求即可．因此要注意“三度”．（1）广度：练习要关注全员参与，形式要多样、新颖．（2）坡度：练习的设计要层次分明、循阶而上．（3）适度：练习的设计要难易适度，并有一定量的密度．在学生归纳出绝对值的概念后，我设计了以下这组练习：
(1)说出数轴上Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ各点所表示的数的绝对值．
B A C E D
-8 -7 -6 -5 –4 -3 -2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(2)求4与-3.5的绝对值．
(3)游戏：请同学们把你们准备好的纸片拿出来，在纸片上写上你喜欢的数字，一个同学把数字读出来，同位的同学说出这个数的绝对值．
练习(1)可以根据绝对值的定义直接口答；练习(2)部分同学可以直接口答，部分同学需要借助于数轴来完成，教科书上先画数轴再求绝对值；练习(3)的要求其实很高，但由于采用了游戏的形式，学生参与性很高，效果应该不错．素质教育其中最重要的一点是使学生最大限度地参与学习活动，也只有学生主动参与、积极参与、乐于参与，数学课堂才具有持久的生命和独特的魅力．这样一组练习全员参与的使学生高兴的把枯燥的、没有生活联系的数学概念学好、学扎实．
2.4 概念的拓展与延伸
概念的延伸能使概念的课堂教学更加完善，也可以使数学概念更具符号化、形象化，也体现了数学概念的简洁性和通用性．因此在学生通过练习巩固了绝对值的概念后，我提出了下列问题：
教师：刚才我们的用文字写下来的方法，是不是有些麻烦？
学生：是！
教师：我教给大家一种很简单的表示方法．
（教师展示绝对值符号“︱︱”以及它的用法．学生认识、模仿、理解．）
师：同学们，现在请你们把自己的纸片交给同桌，由他（她）利用绝对值符号“︱︱”来写出这些数的绝对值，看谁做的又对又快！
学生们兴奋地写起来，老师巡视，然后同位之间讨论结果的正确性，教师给以帮助．
接着出示讨论题：
1．（1）大于-3而小于5的整数有 个，它们分别是 ．
（2）绝对值小于5的整数有 个，它们分别是 ．
（3）绝对值不大于3的整数有 个，它们分别是 ．
2.出租车司机小李某天下午某一时段营运，全是在东西走向的人民大道进行．如果规定向东为正，向西为负，他在这一时段行车里程（单位：千米）如下：-2， +5， -1，+10，-3，若车耗油量为0.8升/千米，你能帮助小李算出在这一时段共耗油多少升吗？(谈谈你的看法)
通过相互协作，共同交流，尝试应用所新学的概念来解决一些简单的问题，使学生在做题过程中体会成功的愉悦．
3. 数学概念学习的策略
数学概念在学生学习过程中使用极广，对思维过程极为重要．它是为学生理解数学命题、掌握数学规则、进一步解决问题打基础的，关于数学概念学习的策略有很多，这里根据特拉弗斯的概括，对概念的学习提出几种策略方法：
（1）当正面事例和反面事例有明显区别时，并且在正面的例子非常一致的情况下，最容易习得概念．“正方形”这个概念就比较容易学，因为正方形的特征容易识别．
（2）有大量实在属性的数学概念，比那些缺乏实在属性的数学概念更容易掌握，这意味者为数学概念提供的材料越多，就越可能掌握概念．当然材料的提供不能太多，否则就有繁杂之嫌．
（3）如果告诉学生注意相关属性，会有助于概念学习．比如，学生学习区别平行四边形和梯形时，教师指出这两种图形的那些特征接更有利于学生的识别和掌握．
（4）如果学生能用自己的语言来表述相关属性，那么将能更好的学习习得数学概念，而且容易把它应用于新的情景．在实际教学中，教师要让学生充分表达自己的意见和想法，对概念的认识，其他同学给以补充，也可以让学生分组讨论，教师给以点拨，最后统一意见．通过这种方式习得概念，学生将记忆深刻，学以致用．
（5）对数学概念的反馈越是完整，学习效果越好，学生若能及时知道自己为什么对，为什么错，将有助于学习概念．比如让学生进行一定数量的练习，将对概念的巩固有很重要的作用．
（6）混合使用各种学习概念的方法，将更有利于概念的歇息．针对概念的特征以及对数学概念学习的要求程度不同，教师可采用灵活多变的方法，学生会提高学习兴趣．
涉及概念性内容学习时，教师在相关信息设计方面要充分利用上述策略，以促进概念性内容的学习．
4. 数学概念教学中应注意的几个问题
4.1 注意排除前后概念的干扰
心理学在对遗忘的原因研究时，主要有两种学说：一种是“痕迹消退说”，另一种是“干扰说”．学生顺利地掌握概念，表明其在分析概念，提取、运用概念的环节上没有受到干扰或者说克服了干扰．在上述环节上不能排除干扰，就会出现掌握概念困难的问题．
如初中开始阶段，学生解题错误的原因常可追溯到小学数学知识对其新学知识的影响．讲清新学知识的意义(如用字母表示数)、范围(正数、0、负数)、方法(代数和、代数方法) 与旧有知识(具体数字、非负数、加减运算、算术方法)的不同，有助于克服干扰，减少初始阶段的错误．
随着初中知识的展开，初中数学知识本身也会前后相互干扰．例如，在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而3-7中7前面的符号“-”是减号给学生留下了深刻的印象．紧接着学习代数和，又要强调把3-7看成正3与负7之和，“-”又成了负号．学生不禁产生到底要把“-”看成减号还是负号的困惑．这个困惑不能很好地消除，学生就会产生运算错误．
总之，这种知识的前后干扰，常常使学生在学习新知识时出现困惑，在解题时选错或用错知识，导致错误的发生．
4.2 不要忽视数学概念的内涵和外延
概念的内涵就是那个概念所反映事物的本质属性的总和，概念的外延就是那个概念所涉及的范围．对于概念的内涵，为突出本质属性，需作逐字逐句的深入浅出的分析，要突出关键词在本质属性中的地位．对于外延，必须将它的每一项都讲到，又必须强调这其中的每一项都是等地位的独立的．
4.3 注意数学概念的可逆性的应用
如有理数的内涵是能写成 形式的数，（m、m为整数n≠0），反过来，凡有理数，则一定能写成 的形式，这样会给解决问题带来方便，实际上，定义的可逆性，是认识概念的两个方面，切莫忽视．
4.4 在概念教学中要注意学生的年龄特征，即注意不同年龄的不同心理特征
(1)字母a表示有理数则｜a｜＝ ．
(2)字母m、n是有理数，则｜m＋n｜＝ ．
从讨论的结果中加深学生对代数式和绝对值概念认识．
概念教学是整个数学教学的重要组成部分．我们应当充分利用各种教学方法，使概念理解由枯燥变活泼，由死板变生动，发挥各种可利用资源优势，让学生觉得数学好学、易学，激发他们乐学的积极性，变被动为主动，就象德国教育家第多斯惠所说的那样“教学的艺术不在于传授本领，而在于唤醒、鼓舞和激励”．
从2013年江苏省高考第17题
浅谈《直线的方程》教学案例一则
徐州市第二中学 张磊
【摘 要】 2013全国高考已经落下帷幕，纵观整张江苏卷，我们可以发现：经过六年新课改的打磨与锤炼，高考数学江苏卷从幼稚逐渐走向成熟，让人们看到改革之路充满了希望与期待！通过对2013年高考数学江苏卷的细细品味，让笔者学会了理性地看待江苏经过六年多时间的高中课程改革所走过的不平凡之路；审视高中数学课程改革的得与失，让我们更加坚定、坚信课改之路！命题者继续遵循了新课程高考方案的基本思想，充分地落实了《新课标》提出:“人人学有用的数学,有用的数学应当为人人所学,不同的人学不同的数学”的要求.试卷结构稳定，突出基础，重视能力，知识点广，突出了在立意上创新，在解法上凸显对通性通法的考查，重视考查考生的数学素养,让不同层次的考生都可充分展现自己的真实能力,让考生感到学习数学有成就感。
【关键词】 2013江苏高考17题 直线方程 小组合作 解析几何
【正文快照】
解析几何部分知识从2012年卷的第19题前置到2013年卷第17题，重点考查了直线和圆两个C级考点的基础知识与基本技能，较往年难度和运算量有明显下降。本文就以2013年江苏省高考直线与圆（第17题）为例，结合《直线的方程》教学实录，就我们今后的解析几何教学，特别是对高三复习中解析几何的教学应该如何开展，谈一谈自己的一些想法。
1 试题回顾
2013江苏卷第17题：如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ,设圆 的半径为 ，圆心在 上。
（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；
（2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围。
解析： 本题重点考查了直线和圆两个C级考点的基础知识与基本技能，并考察了数形结合的思想，较去年难度和运算量有明显下降，学生得分较高。
（1）由 得圆心C为（3,2），∵圆 的半径为
∴圆 的方程为：
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为 ，即
∴ ∴ ∴ ∴ 或者
∴所求圆C的切线方程为： 或者 即 或者
（2）解：∵圆 的圆心在在直线 上，所以，设圆心C为（a,2a-4）
则圆 的方程为：
又∵ ∴设M为（x,y）则 整理得： 设为圆D
∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即：圆C和圆D有交点
∴
由 得
由 得
终上所述， 的取值范围为：
通过上述分析不难看出，2013年直线与圆这道解析几何题设计直线与圆多个C级考点，其主要表现在：重视基础知识与基本概念，重点考察主干知识，同时要求考生有相应的运算能力。
2 教学指导
结合2013年第17题，在高中解析几何教学——尤其是直线与圆章节的教学中，有很高的指导意义。
2.1 《直线的方程》苏教版必修2第 章 第 节
（微格视频链接：
http://10.22.12.11/ResourceEval/realplayer/realplayer.php?resourceid=61930816-e39e-471f-b02d-aba06bd28dfb）
2.1.1授课对象
学生来自三星级示范学校高一年级，基础较好，自高一入校来坚持采用小组合作学习，有一定小组合作意识，思维较活跃，观察，猜想，分析，推理与数学能力较强。
2.1.2教材分析
《直线的方程》选自苏教版必修（2）第二章《平面解析几何初步》§2.1.2《直线的方程》.在之前已经学习过苏教版必修1、3、4、5.这一节共分三课时，《直线的方程》为第一课时的内容． 直线作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用. 直线的方程属于解析几何学的基础知识，是研究解析几何学的开始，对后续圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义.
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征 ，我制定如下教学目标：
(1) 知识与技能：
①熟记直线的点斜式、斜截式方程；
②会求直线的点斜式、斜截式方程；
(2) 过程与方法：
①进一步培养学生用代数方法研究几何题目的能力；
②通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．
(3) 情感态度与价值观：
①培养学生研究题目时，留意其特殊情况的意识，培养思维的严谨性；
②培养学生主动探究知识、合作交流的意识．
教学重点与难点
(1)重点: 直线点斜式方程的导出、记忆；直线的斜截式方程．
(2)难点： 点斜式方程的推导及点斜式、斜截式方程的初步应用。
2.1.3 课堂实录
教师：首先，直线的斜率与倾斜角知识回顾，由学生1完成
（1）已知A(x1, y1) , B(x2, y2), 则直线AB的斜率为
（2）直线AB的斜率与其倾斜角之间的关系是
（3）直线AB的倾斜角的取值范围为
同组学生2进行补充：
（1）已知A(x1, y1) , B(x2, y2), 则直线AB的斜率为
（2）直线AB的斜率与其倾斜角之间的关系是
教师：利用上节课知识，请同学们画出直线l，使其经过点A(1,3)，斜率为2.
学生3：进行点评，并回答在平面直角坐标系内，点的代数形式是坐标，直线方向的代数形式是斜率。
教师：思考直线的代数形式是什么呢？引出课题——直线的方程。
探究1： 若直线l经过点A(1,3)，斜率为2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标(x, y)满足什么关系呢？
学生思考，A组代表学生4：因为点P与定点A(-1,3)所确定的直线的斜率恒等于-2，
故有
即 （1）
思考：1.直线l上的点的坐标是否都满足上述方程（1）？
2.以方程（1）的解为坐标的点是否在直线l上？
学生5：都满足。
教师：由此，我们得到经过点A(-1,3)，斜率为-2的直线方程是
探究2：若直线l 经过点P1(x1, y1)，斜率为k，点P在直线l上运动，那么点P的坐标(x, y)满足什么条件？
学生6：当点P(x,y)在直线l上运动时，PP1的斜率恒等于k，即
故
教师点评：直线l上的每个点（包括点P1 ）的坐标都是这个方程的解；
反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上。
方程 叫做直线的点斜式方程。
教师：请同学们思考与讨论——直线的点斜式方程应用的条件及局限性是什么？
小组讨论，组间相互进行评价得出直线的点斜式方程应用的条件及局限性。
由学生完成数学应用：
例1 已知一直线经过P（2, 3），斜率为2，求这条直线的方程。
教师：给出标准书写格式。
变式:
（1）过点(－2, 3)，倾斜角为135°的直线方程为____________________
（2）过点(－2, 3)和点(0,1)的直线方程为_______________
（3）过点(－2, 3)，且与直线y = 2x+ 3斜率相等的直线方程为______
（4）过点(－2, 3)，且平行于x轴的直线方程为__________________
（5）过点(－2, 3)，且平行于y轴的直线方程为__________________
学生活动1：小组讨论，分享答案，组间相互进行评价得出正确结论。
例2 已知直线l 的斜率为k ，与y轴的交点是P( 0, b )，求直线l 的方程。
教师：给出标准书写格式，指出直线的斜截式方程 定义。引导学生对比直线的点斜式方程与斜截式方程的异同。
学生活动2：完成直线两种不同形式的对比并完成练习：
（1）直线y= 2x4的斜率是 ，在y轴上的截距是
（2）直线2x + y 4= 0的斜率是 ，在y轴上的截距是
（3）直线3x + 2y = 0的斜率是 ，在y轴上的截距是
（4）根据条件写出下列直线的斜截式方程：
①斜率为2，在y轴上的截距是5；
②倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
③倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3；
④斜率为 , 与x轴的交点横坐标为 7.
（5）直线y = k (x+1) (k>0)的图像可能是
变式: 直线l1: y＝ax＋b和l2 : y＝bx＋a在同一坐标系中的图形可能是________
学生活动3：小组讨论，分享答案，组间相互进行评价得出正确结论。
学生活动4：小组内完成课堂小结，由组间进行交流判断。完成直线的方程——点斜式与斜截式的课堂自测与回顾。
3 回顾与反思
3.1回顾课堂中的几点意外：
3.1.1在引入直线的斜截式方程 时，将其与一次函数进行对比时出现。
一次函数的解析式肯定是直线的斜截式，但直线的斜截式不一定是一次函数的解析式。
理由：由于一次函数中的k≠0，而直线的斜截式中的k可以取到0的。在教学中利用充分必要条件或集合的观点去解释较好。
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
3.1.2.在理解直线 在x轴上的截距是什么和截距与距离的区别与联系是什么时。
这个可以利用数形结合进行解决。例如：曲线与x、y轴的交点（a，0），（0，b）其中a叫曲线在x轴上的截距；b叫曲线在y轴上的截距。截距和距离不同，截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负。
当然，在上这节课之前，笔者难以想象学生对于再熟悉不过的直线会有各种各样不同的认识，其中很多是非常好的想法。课堂中的意外，正是学生充满智慧的表现，而这些则让笔者兴奋不已，久久陶醉于课堂教学的快乐之中，回味颇深。
3.2 反思
解析几何起始课教材编写意图及教学反思 石志群 中学数学月刊 2013 .6
微格视频链接：
http://10.22.12.11/ResourceEval/realplayer/realplayer.php?resourceid=61930816-e39e-471f-b02d-aba06bd28dfb
