数学组11-12学年教师发表的文章

符号意识：学生基本的数学素养

李桂强

绪言

《易》曰：天行健，君子以自强不息．

从教以来，我一直坚守在教育教学的第一线，执著于静下心来教书，潜下心来育人，不断的学习、思考和实践探索，逐步形成了个人的教学风格和教学模式．在我的数学教学实践过程中，越来越意识到数学教学为提高学生作为未来公民所必要的数学素养的重要性，为此我一直在探求提高学生基本的数学素养的有效“抓手”，我认为，数学符号意识是学生基本的数学素养，注重学生数学符号意识（也称为符号感）的培养是提高学生基本的数学素养的有效“抓手”之一，理应得到我们的高度关注．于是，我在认真研读已有文献的基础上，利用诸如参加国家、省级骨干教师培训及在南京师范大学读攻研究生学位等各种学习机会不断的向有关专家、学者请教，并及时地实践于自己的教学之中，收到了良好的效果．现借这次约稿的机会，将我在这方面多年的一些探索与思考整理成文，以就教于方家．

一、我对数学符号意识的理解

通俗的说，所谓符号，就是指代某种事物的标记，记号，它是由社会的全体成员共同约定用来表示某种意义的标记和记号．符号是用来传递信息的．哲学家恩斯特·卡西尔（Ernst Cassirer）认为，符号作为对象的指称形式，它的统摄功能具有生成人性和塑造人类文化的作用．“没有符号系统，人的生活就一定会象柏拉图著名比喻中那洞穴中的囚徒，人的生活就被限定在他的生物需要和实际利益的范围内，就会找不到通向‘理想世界’的道路——这个理想世界是由宗教、艺术、哲学、科学从各个不同的方面为他开放的．”[①]

数学家罗素（Bertrand Russell）说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑．”如同音乐利用符号（乐谱）来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式．数学家M•克莱因（Morris Kline）认为，这是数学作为一个独立系统的重要特征．[②]数学的发展史也表明，没有数学符号，数学就不能得到大发展．在欧洲，数学科学有时被叫做符号科学．自明朝中叶以来，中国数学一直停滞不前，原因是多方面的，其中一个重要的原因就是我国古代数学忽视了数学符号的使用．因此，我们要高度重视对数学符号的研究，并通过数学教学培养学生的数学符号意识，提高学生基本的数学素养，使他们逐渐养成在处理问题时自觉地引进适当的符号系统解决问题．

1、数学符号

数学符号是指经过数学界约定的规范化的符号，是用来记录数学概念、命题和演算的．数学符号具有两种含义，一是单指表示数学概念的符号；二是泛指整个数学符号体系，即不仅包括表示数学概念的符号，也包括表示数学命题和数学推理所使用的一切记号，以及其他专用符号等．

与其它语境下的符号相比，数学符号有自己的特点．一是含义确定性．每个数学符号都确定表示某种意义．如， 表示角 的正弦的含义．二是表达简明性．用数学符号表达概念、运算、逻辑推理十分简单明了．如，高等数学中关于函数极限的定义．三是使用方便．四是直观性．主要包括图性直观（如，⊙、∥等）、义性直观（如，圆周率符号π（源于希腊文字），对数符号 （源于英文“对数”一词的字头）、唯义直观（如无穷大符号∞、微分符号dx等，其实，唯义符号的出现和流行，使数学符号上了一个台阶，将数学推向更为广阔的空间，从而为深奥的近现代数学原理提供了又一种直观、简明的语言理想模型）．

简而言之，数学符号至少具有以下四个方面的作用：一是数学符号能够表达数学概念、命题和演算．二是数学符号不仅使数学在形式上简明、确切，而且还更深刻地反映客观事物中的数量关系，直观地表达数学论证与计算过程．三是数学符号能够提高演算效率．四是更为重要的，数学符号极大的影响数学本身的发展．

2、数学符号意识

国内学术界认为，符号意识或符号感是国外相关文献中“Symbol Sense”的直译．在《全日制义务教育数学课程标准》（以下简称《标准》）实验稿中翻译为“符号感”，在修订稿中又翻译为“符号意识”，而且仍然把它列为义务教育阶段数学教育的七个关键词之一．我认为，究竟怎样直译更好些，似乎没有太大的意义，就如数学符号本身就是约定俗成的一样．

国际上，对“Symbol Sense”的研究不多，直到二十世纪九十年代，才引起数学界的关注．1990年，学者J.Fey提出以下观点：[③]

符号意识应包括：（1）认知与鉴别能力，对于数学符号的本质有深刻的理解，对于以数字、图像表示的数学模式，能粗略估计其分析表达式，鉴别以某个法则表示某个模式是否恰当．（2）估算能力，对以某种符号法则表示的某种函数，能对函数值作出非正式的估计与比较．（3）验算与预告能力，对运算结果作出算术估计，或对已进行的运算的正确性作出判断．（4）选择能力，对一个特定问题，从几个等价的解答中确定最合适的形式．

《标准》实验稿认为，符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题．

《标准》修订稿认为，符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理．建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式．

在我看来，数学符号意识是个体理解符号所表示的实际意义，运用符号进行运算和转换，从而借助于符号解决数学问题的一种心理品质．从让·皮亚杰（Jean Piaget）的认知阶段的观点来看，这种心理品质的出现，是人的智慧发展的重要标志，即已经从“具体运演阶段”逐步向“形式运演阶段”过渡．培养学生的数学符号意识是数学课程的重要任务之一，是提高学生基本的数学素养的有效途径．

二、学生数学符号意识的现状

迄今，我的教学实践可以分为两个阶段，即初中阶段和高中阶段．2005年以前，我主要从事初中数学的教学与研究工作，2005年，我被调到完全中学工作，从此便开始重点从事高中数学的教学与研究工作．不论是教初中生还是教高中生，在教学中，我一直都非常重视数学符号意识的培养对提高学生基本的数学素养的作用，因此，每接手一个班级，都要先调查与了解学生数学符号意识的现状，在此基础上认真梳理、反思，以便能够形成共性的结论来指导自己的教学工作．以下便是我设计的调查表及相关调查情况的摘要：

［导语］ 同学们：我们知道，数学符号蕴含许多信息，如看到“—”，想到了：①运算符号（减法），②性质符号（负号），③“+”号等等．下表中，请你将在左栏里看到的数学符号联想到的内容写到相应的右栏里(写得越多越好)．谢谢！

［调查结果统计］ 综合历次调查的情况，作出如下统计汇总（括号内为学生的回答人数所占总调查人数的大致百分比）：[④]

［调查结果简析］

1、学生表现出对数学符号的前一、二种信息较为熟悉．比如对符号“+”和“－”的理解，学生能很快地说出它们表示运算符号和性质符号（占100%），而对它们所蕴含的后几种信息就知之甚少了．事实上，“－”至少具有以下四种含义：①表示运算符号．②表示性质符号．③表示相反（数），如 的相反数记作 ，上升5m记作+5m，下降5m就表示为－5m．④表示数－1．如，－1×a=－a，反过来，－a=－1×a，这时“－”就具有数“－1”的作用了．当然，“－”的这些属性在它出现时往往兼而有之，需认清其“庐山真面目”才能准确利用其性质进行运算，如－3²按运算顺序计算自然也就不会产生－3²=9的错误了．

2、学生普遍有数学符号语言间的转换意识．如调查中，看到“ ”，有约88.2%的学生能很快地意识到它可表示一个半圆．但是，从某种程度上说，这种数学符号语言的转换意识还不够强烈．这突出地表现在对“1”和“ ”的联想上，事实上，对符号“1”和“ ”的联想是多方面的，除了调查表中所列举出来的之外，例如还有

初始元

单位元

恒等变换

全集合

真命题

……

3、不同学力水平的学生对数学符号的理解水平不同．学力水平较高的学生在理解符号时能够进行较为主动地分析，因而在理解符号时能自觉对数学符号所蕴含的相关内容进行处理，使自己的认知结构形成了网状排列，进而使知识点之间保持了一定的连续性．而学力水平较低的学生在理解数学符号时大多是孤立的，而且只看到了数学符号表层的形式意义，即使有联系也常常是混乱和松散的，有时还是错误的．

我认为，出现上述结果的原因主要有二，一是多数学生在学习数学符号时未能理解符号的真正含义，即既没有理解数学符号的内在意义也没有去思考掌握并理解符号含义的方法，致使数学符号的外在表现和学生个体的内在经验背景相脱节，这样，大多数学生记住的仅仅是几个抽象的符号．二是多数学生在后来的学习过程中，一方面由于对自己的学习过程缺乏概括和总结的习惯和方法，另一方面也可能缺乏对自己的思考过程进行反思，因而无法借助自己已有的经验理解形式化的符号所蕴含的意义．这也从一个侧面反映出学生的学习还多是机械学习．

［调查得出的初步结论］

数学符号是用来储存、传递和加工数学信息的物质载体，是用来表示数学问题的科学语言．另一方面，数学符号又是相应的数学概念的形式化体现，数学的发展最终要走形式化的道路，这是数学的历史使命，数学学习的最终目的也是要求学习者学会形式化语言，为应用数学和进一步学习数学打下基础，同时，发展学生的符号意识也是提高学生数学素养的基本要求．因此，在我看来，要解决调查问卷中所暴露出来的问题，其基本对策就是在教学中要重视对学生的数学符号意识进行培养．在数学教学中要引导学生认真分析符号的深刻内涵，使学生从中获得丰富、准确的信息，从而尽可能地摆脱纯符号操作所带来的盲目性．

三、学生数学符号意识的培养

在具体的数学教学过程中，我着重探索从以下几个方面来培养学生的数学符号意识，多年的教学实践表明，效果较好．

1、充分利用学生已有的生活经验．[⑤]

学生已有的生活经验中潜藏着丰富的符号意识，这是发展学生的数学符号感意识的重要基础．比如，常见的交通信号、生活中一些电器的标识等．从某种意义上讲，我们是生活在一个被“符号化”了的世界里．既往的数学教学实践表明，对学生而言，学会“数学符号运算”似乎是一个极大的困难．其中原因何在？主要问题在于我们以往的教学不承认学生已有经验中的“符号世界”，没有给学生提供机会经历“从具体事物→学生个性化的符号表示→学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程．因此，在教学中我常常设法利用学生已有的生活经验，同时积极引导和组织学生去认识、收集生活中的各种符号，并加以交流，使其建立事物与符号之间的对应关系，从而为数学符号意识的培养奠定认知基础．当然，学生头脑中的片面经验也可能对形成正确的符号意识产生消极的影响，对于此，我们在教学中，可以先研究学生已有的生活经验和认知水平，再诊断出其中的片面的或错误的观念，然后再“对症下药”，帮助学生建立起正确的数学符号意识．我在进行七年级《用字母表示数》的教学时曾作过如下尝试：

［教学片段1］

学生念儿歌：

1只青蛙，1张嘴，2只眼睛，4条腿，扑通1声跳下水．

2只青蛙，2张嘴，4只眼睛，8条腿，扑通2声跳下水．

3只青蛙，3张嘴，6只眼睛，12条腿，扑通3声跳下水．

……

师：怎么大家不念下去了？

生：太麻烦了，念不下去了！

师：我们能不能想一个办法把所有的情况都表示出来？

教师引导学生讨论，可以得到：

n只青蛙，___张嘴，___只眼睛，___条腿，扑通___声跳下水．（下略）

［简要分析］此案例中，选取了学生非常熟悉且有趣的素材，便于学生从自身已有的经验出发，寻找问题解决的方法．更为重要的是，在教学的实施过程中，采取了寻找解决问题的办法等任务型问题的设计，激发了学生参与的热情，通过必要的小组合作、交流等手段，让学生有更多的探索和表现的空间，发展学生的符号意识，使学生体会到了现实生活的规律性以及用代数式表示现实规律的应用性与可行性．确实，在教学实践中，学习“用字母表示数”时，学生对“a”表示一个数是从具体情境中认识的，此时的a往往表示自然数，这对于初学者来说已经是一个认识上的飞跃了；但在有理数面前，学生马上又要面对诸如“－a是负数吗？”这样的问题，事实上许多学生这时对此问题的认识与理解是非常粗浅的，在后来的学习中，还会反复多次，这恰好说明学生对“用字母表示数”的认识与理解是比较困难的，同时也说明发展学生的符号意识是一个长期的过程．

2、揭示引入数学符号表示的过程．

在教学中，要注意揭示引入符号表示的过程，尽可能让学生经历从具体情境中抽象出符号的过程．事实上，在实际的教学中，我们会发现，学生在表示具体情境蕴含的一般规律时，常常会凭借自身的经验与体验，建立自己特有的表示，而数学自身则提供公认的常规的表示．为此，在教学中，我们要把这二者结合起来，使学生以自己的经验为认识基础，通过在解决问题和探索规律时构造的个性化的特殊表示，逐步实现从个人局限的直接经验向精确化、普遍性的数学表示的飞跃．

例如，我曾在小学做过这样的实验：考察小学生建立用符号“ ”表示“一半”（即“二分之一”）的过程．我先让学生试着用自己的方法表示“一半”，有的学生用图形（符号）“θ” 表示“一半”、也有的学生用图形（符号）“⊥”、“中”等表示“一半”，这时，我追问学生：如何用图形（符号）来表示“十分之一”或“万分之一”呢？不少学生茫然了，然后再让学生来体会用“ ”表示“一半”的优越性．结果表明效果很好．

再如，用火柴棒拼摆正方形，拼摆1个正方形需要4根火柴棒（如图所示）．

按照图中的方式，拼摆2个正方形需要几根火柴棒？

拼摆3个正方形需要几根火柴棒？

拼摆10个正方形需要多少根火柴棒？

拼摆100个正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？

在拼摆2个、3个、10个正方形时，学生们可能会具体数一数火柴棒的根数，但当考察拼摆100个正方形时，就需要探索出正方形的个数与火柴棒的根数之间的关系，发现火柴棒根数的变化规律．而规律是一般性的，需要用数学符号来表示．由此学生自然会意识到使用数学符号来表示火柴棒根数的变化规律的简捷性和普遍性．

显然，此类例子也能够从一定程度上促进学生理解引入数学符号的普遍性和必要性．其实，对学生而言，数学难学的关键之一在于，数学的外在符号表达形式会转化为外部强加的僵硬的规则体系，也就是对数学与符号语言的关系缺乏正确的认识与转化．

3、充分挖掘符号的暗示功能．[⑥]

数学符号创设的基本原则主要有确定性原则、简明性原则、方便性原则、启发性原则及和谐性原则等．按一定规则组织起来的数学符号是思维活动的物质载体，其功能主要有揭示一般规律、构造数学模型和表达数学思维模式等，因此，它能刺激联想活动、诱发数学灵感．例如，“ ”暗示根号下非负；而 则暗示 ＞0，a＞0且a≠1等．而我们在平时的数学教学中，往往只教给学生用符号表达的结果，而常常忽视了对数学符号的“最原始”的暗示功能的挖掘，从而导致学生多习惯于停留在数学符号操作的层面上，而不能达到真正借助于符号揭示其深刻的内涵层面．因此，在数学教学中我非常注意抓住数学符号创设的启发性原则，以充分挖掘数学符号的暗示功能．

①重视对数学符号的基本属性的识别．

对“基本属性”的识别，在认知心理学中叫做模式识别．模式识别是一种知觉过程，模式识别过程是将知觉信息与长时记忆中的有关信息进行比较，再决定它与长时记忆中的哪个项目有着最佳匹配的过程．[⑦]例如，当面对一组数字，首先必须识别其中哪些是有理数，哪些是无理数？面对一个初等方程时，首先必须识别它是有理方程还是无理方程，是分式方程还是整式方程？有些学生会把 说成是分式，这也说明，对数学符号的识别，绝不能仅仅停留在符号的表面上．当然，对数学符号的基本属性的理解，还要放到具体的环境当中考虑．比如符号“0”，在实数系、有理数系和整数系里，它的基本属性是均表示唯一的中性数．在“我有0元钱”里，“0”表示“没有”．在“现在的天气温度是0度”里，“0”表示了这一刻的温度的高低情况，已不是“没有”温度的意思了．此外，视出现的环境不同，“0”还可以表示零点、零元、零向量……．再如变元，变元可以代替一类符号中的任意一个符号，字母a、b等可作为任意集合元素的变元．以a=bc为例，它可用以描述矩形的面积公式s=ab，这里a、b分别表示矩形的长和宽；也可用以描述行程问题中的一般的运动规律s=vt，即“路程=速度×时间”；也可用以刻划工程问题中的基本关系，即“工作量=工作效率×时间”；也可用以刻划浓度问题中的基本关系，即“溶质质量=溶液质量×浓度”等等．

②注意回到数学符号的“原始状态”．

数学符号是人为制订的，尽管是抽象思维的产物，具有高度抽象性，但并非不可捉摸，学生在具体处理问题时，往往将数学符号的原始信息遗忘或忽略掉了，从而造成解题困难．比如运算符号蕴含了相应运算的基本性质，它的原始状态所暗示的隐含条件对于数学解题至关重要的．下面我通过一个教学片断来加以说明回到数学符号的“原始状态”这一策略的重要性．

［教学片段2］

设x是实数，y＝｜x-1｜＋｜x+1｜．下列四个结论：

Ⅰ．y没有最小值；

Ⅱ．只有一个x使y取到最小值；

Ⅲ．有有限多个（不止一个）x使y取到最小值；

Ⅳ．有无穷多个x使y取到最小值．

其中正确的是（　　　　）

(A)　Ⅰ　　　　(B)　Ⅱ　　　　(C)　Ⅲ　　　　(D)　Ⅳ

生1：在y＝｜x-1｜＋｜x+1｜中含有两个绝对值，只需“找零点，分区间讨论”即可．可划分为以下三个区间讨论，即 ．

师：很好！去绝对值是一般方法，但是比较麻烦，有无简单些的方法呢？

生2：？

生3：可用绝对值 “｜　｜”的几何意义来处理．

在数轴上，每个实数x对应一个点P，则｜x-1｜＋｜x+1｜的“原始状态”是点P到－1、+1表示的点A、B的距离之和｜PA｜＋｜PB｜，当点P在线段AB外时，｜PA｜＋｜PB｜＞｜AB｜＝2；　当点P在线段AB上时，｜PA｜＋｜PB｜＝｜AB｜＝2，又线段AB上有无数个点，故有无数个点个x使y取到最小值2．

［简要分析］如果能注意回到数学符号“｜　｜”的“原始状态”，则问题就会迎刃而解了．而事实上，在教学实践中，学生往往忽视了数学符号的“原始状态”，使得问题处理变得复杂起来．

③指导学生探索数学符号引申的信息．

“数学符号带给人们的，远比人们带给它的多”．在数学问题的条件或结论中往往含有一些对探求解题思路、正确完整求解有益的信息，发掘并利用这些信息对提高解题能力，培养思维的科学性和深刻性是大有裨益的．特别地，在题设条件里地位相同的未知量暗示着它们在解答中的地位也相同，根据这个原理在很多时候能使我们预测到问题的解或者发现解题的途径．当然，其理由是不充足的，人们把这样的原理称为“不充足理由律”．[⑧]

例1 设实数s、t分别满足 ， ，并且 ．

求 的值．

简析：这是一道全国初中数学竞赛试题，旨在考察学生能否灵活运用化归思想和韦达定理解决问题，可以说是一个较为简单的题目，但实际上是参赛学生失分率较高的一道题，这是因为题设中给出的地位相同的两个条件被学生认为是两个不同的方程，不能直接运用韦达定理，于是，思维受挫．事实上，下面的解题策略恰是“不充足理由律”的一个具体运用．

易见s、t均不为零（由条件 所暗示的信息），故方程 可以转化为 ，这与方程 的对应系数相等，因此，实为同一个方程，问题就转化为t、 为一元二次方程为 的两个根．由韦达定理知 ， ，从而易得 ＝－5．

④引导学生剖析数学符号的结构特征．

例2 已知正数 满足方程组

，　　　　试求代数式xy+2yz+3xz的值．

简析：此题是三元二次方程组，若能求出该方程组的解，再代入代数式xy+2yz+3xz中即可求出其值，但是此方程组很难求解，这就需要换个思路思考问题了．经观察分析，发现已知方程组有如下结构：

．

进而，可以发现三个方程的左端分别为5²、3²、4²，实际上，可以把它们看作为一个直角三角形的三边长的平方．这种想法是奇妙的！事实上，构造一个 （∠PQR=90⁰），使其三边长分别为　5、4、3（如图），则在 中必有一点O， 使 ，∠QOR=120⁰，∠ROP=150⁰，

所以∠QOP=90⁰，则 ，即

，

所以 　　即　　 ．

4、加强数学符号间的转换训练

这里所说的数学符号间的转换，主要是指表示变量之间关系的表格法、关系式法、图象法和语言表示之间的转换．

由于一个数学对象从不同的角度去观察会产生不同的表达形式，因此，将一种“符号表达”从一个角度转换为另一个角度的“符号形式”，可以沟通知识之间的联系，也有利于问题的解决，这样也就存在着符号间转换的根据与可能．例如，“已知 ，求 的最小值”．可以转换为“求直线 上的点到原点的距离的最小值”．进一步再转换为“求原点到直线 的距离”．这样既沟通了代数与解析几何的联系，又使问题变得简单易解了．所以，在教学时要注意符号语言之间的转换训练，充分发挥各种语言的优势，从而使学生在语言转换的过程中加深对数学的理解．

另外，从数学学习心理的角度来看，不同的思维形式之间的转换及其表达方式是数学学习的核心．因此，能把变量之间关系的一种形式转换为另一种表示形式，构成了数学学习过程中的重要方面．

5、重视师生之间、学生之间的符号语言交流

毫无疑问，数学只有通过交流才能够深入和发展，只有用文字和符号表达出来，数学思想才能变得清晰．也就是说，数学是借助于数学符号语言与普通文字语言的结合才得以流传，当然，学生是通过理解这些数学语言的内涵而掌握数学知识，进而形成能力的．然而，由于学生个人的数学认知结构存在差异，因此，他（她）对同一数学知识的理解就带有明显的个人特征．例如，在刚刚学习了完全平方公式 以后，用它来计算 时，不少学生会出现形如 这样的理解（在他们看来，此处的“ ”与公式中的“ ”是一样的）．学习了分配律 后，也有不少学生会有如下“同理可得的结论”： 、 等．通过交流，可以帮助教师发现学生错误的理解，从而引导学生自我反思、自我否定，进而引起学生的共鸣．通过交流，也可以使学生获得解决问题的不同思考角度，有利于学生在问题解决中充分地进行思维活动，进而加深对数学的理解．

6、对数学符号运算进行必要的训练

建立符号系统之后，自然地就要进行有关符号的运算，如化简、代入求值等．培养学生的符号意识的目标之一就是，使学生能够选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题，它包含两层含义：一是将问题用符号表示出来，即符号化；二是选择算法，进行符号运算．显然，符号的运用，将运算从特殊推向一般化；符号化的运算不仅能揭示算式的数学本质，而且通过式的运算增进学生运用符号的能力．在我看来，符号意识与代数运算是相辅相成的．符号的运用成就了代数运算，反之，代数运算又促进了符号的运用．没有代数运算的介入，符号将失去意义，更谈不上符号意识的形成与发展．所以，代数运算是符号意识的发展和延续、是对符号意识的补充与巩固．符号意识建立较好的学生，在代数运算中的理解、表述大都会较好，反之，代数运算的训练又会强化学生的符号意识．代数运算就是符号的运算，是更深层次的符号意识的体现，它的逻辑性、抽象性对学生能力的培养及其后续发展有着不可替代的作用．如解方程、解不等式、确定函数表达式以及函数最值等问题中，都需要对关系式进行适当的恒等变形，因此，符号运算成为代数学习的一个基本技能．

有研究表明，符号运算的学习是一个漫长的过程，其学习具有一定的阶段性．因此，必须对学生进行分阶段的、适当的数学符号运算的训练．如，在进行相反数的教学时，可安排如下练习：

－(－3)=____； －(－3)＋3=___； －(－3)－3=_____；[－(－2)]＋[－(－3)]=_____；等等．

当然，我并不主张进行繁杂的形式运算训练，而应该增加实际情境、探索过程、几何解释等以帮助学生理解数学符号运算．

7、重视对符号的涵义和实质的分析

如众所知，数学符号的主要作用之一是用高度简约化的形式语言来表征具体的数学内容．而我们在实际的教学过程中往往会发现学生学习的数学知识有过于表面化的现象．例如，学生在学习数学符号时由于没能真正理解数学符号的意义及其蕴含的思想方法，在记忆时只是按照老师的要求进行简单的机械记忆，导致其记住的仅仅只是几个抽象的符号而已．比如，学生若不理解三角函数符号 的涵义，则类似于 的错误就有可能发生．我认为，产生这一现象的主要原因在于学生进行数学学习时出现了内容与形式的脱节，其实质就是简约化的数学符号与其所表征的数学内容相脱节．据此，在教学时，教师应给数学符号赋予具体的内容，要对数学符号的涵义和实质进行深入的分析．

8、对学生学习符号可能存在的困难要有清醒的认识

如上所述，数学符号是一种高度抽象化、概括化和形式化的数学语言，而中学生（特别是初中生）数学知识经验相对较少、抽象思维能力相对较低，这样就势必会出现许多困难和障碍．因此，教师对学生学习符号可能存在的困难要有清醒的认识．从我调查的情况来看，学生学习数学符号的困难主要有三．一是理解上的困难．例如，同一符号可能会有多种含义．如前文中以符号“－”为例．再如多种符号可能表示同一含义．如4÷3、4:3、 等均可以表示4除以3的商．二是表述上的困难．比如，不恰当的表述容易使学生产生误解．如“－ ”读作“负 ”，容易使学生产生“－ ”一定表示负数的误解．三是数学符号结构本身的原因．有些数学概念是用构造法引进的，且构造过程较为繁琐，其相应的数学符号结构较复杂、层次多．如导数与定积分就是很典型的例子．

综上，我认为，对学生数学符号意识的培养不是一蹴而就的，应该贯穿于数学学习的全过程．而在数学教学中，我们要始终尽可能地在实际问题情境中帮助学生理解数学符号以及表达式、关系式的意义，即在解决实际问题中发展学生的符号意识．要始终尽可能地还原数学符号创造、发明的过程，让学生真正体验数学符号“冰冷的美丽”为“火热的思考”的鲜活的过程，进而深刻理解数学符号所蕴含的思想、方法和意义．要始终注重数学符号的辨析、操作和变换等．这样，学生的数学符号意识必将会逐渐地好转起来．

高一数学新教材教学中的几点体会

周丽珺

自从2005年高一开始实行新教材以来，我对高一数学的教与学有了新的体会。

第一，就数学知识难度而言，高中数学知识梯度比初中数学要大，知识点概念以及数学公式多而且较为抽象，相互联系比较复杂。高中数学与初中数学区别大致体现如下：

1.数学语言在抽象程度上产生质的飞跃：初中数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达，而高中数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑语言、函数语言、图象语言等，而这也是高考中创新题型重点考查的。

2.思维方法向理性层次跃迁：数学语言的抽象化对思维能力提出了新的更高的要求，在这里充分体现在新课标高考大多数题以考查创新能力探索能力为立意上，大多考查思维的转换能力与逻辑思维能力上。

3.知识点内容的整体数量剧增，在新课标下，江苏地区高中数学苏教版，在教材编排上体现了和生活实际接轨，注重学生的探索创新能力的培养，高中教学时间紧任务重，基本上在高一和高二阶段就学完了高中阶段的知识内容，高三全年总复习。这对于基础较弱，还未适应好高中学习的学生来讲是个很大的挑战。

4.知识体系的独立性大：高中数学大致由以下几大知识体系组成：

集合与函数、简易逻辑与推理证明、不等式、数列、直线与平面、圆锥曲线、平面向量与复数、概率与统计、导数定积分等。虽然初学时它们相对比较独立，但高考则注重知识体系的相互融合，考查综合应用能力。

     第二，对于高中数学上述特点以及高考考查的范畴，针对不同基础的学生充分体现了一对一教学的优势。现在尽管高中教学在倡导素质教育以学生为主体，重点培养其自主学习能力，但是目前来讲，高中学校教师人员有限，大都进行大课堂教学，势必使某些性格内向且基础薄弱的学生未能受到足够的关注使本身不喜欢数学的学生会慢慢放弃数学。这样在高一高二几乎决定学生高三复习时数学提高水平的大环境下，就很容易产生落后生。而一对一则能弥补前者的不足，我们能够针对学生的知识基础、性格特点、学习习惯等有针对性的制定教学计划，给予落后生更多的关爱，而那些基础较好需要拔高的学生则能在我们这里得到更好的学习习惯及应试技巧指导，自身的知识面及解题思路方法技巧能够得到提升。

第三，既然明确了以上两点，那么在具体教学过程当中该如何进行教学呢？这就要求我们：

1.针对不同年级以及不同基础的学生应该有个性化的教学目标

围绕着学生教学目标大体分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。因此，在备课时要及时了解学生的前期知识点的掌握情况，围绕这些目标选择教学的策略、方法，把内容进行必要的重组。在数学一对一教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。如《向量及其运算》这一课是整个向量这一章的第一课，在备课时应注意，通过这一课的教学，使学生能利用辩证唯物主义的观点来解释向量的产生和发展，体会到向量本身存在我们的周围而且联系到物理上面的矢量，来增加学生的认识技巧，同时也就提高了学生自己分析问题和解决问题的能力。

2.明确教学目标后应该能够在教学过程中突出重点、化解难点

 每一节课都要有一个重点，而整堂的教学都是围绕着这个重点来逐步展开的。为了让学生明确本堂课的重点、难点，教师在上课开始时可以首先设置一个具有吸引人的问题来导入本堂课的重点。讲授重点内容，是整堂课的教学高潮。教师要通过声音、手势等的变化或应用模型，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，例如在讲到集合的概念时我则让学生联系到学校本年级人数以及班级人数来讲解集合之间的包含关系，在讲到集合的运算尤其是交集、并集与补集混合运算时我就用两张纸片来进行现场演示，这样的话学生就会对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，同时也激发了学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。

3.应该学会根据不同的教学内容，选择恰当的教学方法

每一堂课都有每一堂课的教学任务，目标要求。正所谓“教学有法，但无定法”，教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，灵活应用教学方法。数学教学的方法很多，对于新授课，我们往往采用讲授法来向学生传授新知识。而在立体几何中，我们还时常穿插演示法，来向学生展示几何模型，或者验证几何结论。如在教授立体几何之前，要求学生用铅丝做一个立方体的几何模型，观察其各条棱之间的相对位置关系，各条棱与正方体对角线之间、各个侧面的对角线之间所形成的角度。这样在讲授空间两条直线之间的位置关系时，就可以通过这些几何模型，直观地加以说明。此外，我们还可以结合课堂内容，灵活采用谈话、读书指导、作业、练习等多种教学方法。有时，在一堂课上，要同时使用多种教学方法。“教无定法，贵要得法”。只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，都是好的教学方法。

4.要精讲例题，多做课堂练习，抽出时间让学生多实践

问题是数学产生与发展的源泉，带着问题去学习数学才能有利于我们数学应用能力的提高，所以根据课堂教学内容的要求，教师要精选例题，可以针对不同基础的学生按照例题的难度、结构特征、思维方法等各个角度进行全面剖析，不片面追求例题的数量，而要重视例题的质量。解答过程视具体情况，可以由教师完完整整写出，也可部分写出，或者请学生写出。关键是讲解例题的时候，要能让学生也参与进来，而不是由教师一个人承包，对学生进行满堂灌。教师应抽出时间，让学生做做练习或思考教师提出的问题，或解答学生的提问，以进一步强化本堂课的教学内容。若当堂课内容相对轻松，也可以帮组学生进行知识拓展，提出适当的要求，为下一次课作准备。

5.课后作业布置要有针对性

为了更好的巩固当堂课的学习效果，要针对本堂课重点难点结合学生年级、基础、学习习惯及学生所在学校课后布置作业量来适量布置作业，保证学生能够做完。

总而言之，在进行一对一数学课堂教学中，就要提高学生在课堂两个小时的学习效率。要提高教学质量，我们就应该多思考，多准备，充分利用每周公开课以及学科教研时间不断梳理知识点改进教学方法，充分做到备教材、备学生、备教法，提高自身教学水平，加强沟通技巧训练赢得更多的续推业绩。

艺术班的高考数学复习策略

吴杞霄

（徐州市第二中学，江苏 徐州 221005）

摘要：艺术生已成为高考中一类重要的群体，由于受艺考的影响，他们的数学复习有很强的自身特点。首先在数学复习中既要全面复习，又要把握好深度，还要有所侧重。其次复习过程分为三个阶段，第三阶段最重要。再者学生在做高考数学试卷时要懂得题目的取舍，做到平稳拿到80分。最后是三个要注意的问题。

关键词：艺术生 高考 复习 策略

    艺术生是一类特殊的高考群体，因为高考录取分数线较低，所以近年来，艺术类招生一直很红火。在有的高中，艺术生占到高三全体学生的1/5到1/4。虽然艺考是上大学的捷径，但随着艺术生数量的增加，竞争也日趋激烈，比如2010年江苏省高考艺术类的录取率只有不到50%。艺术类高考只考语数外三门，其中数学的成绩分化最为严重，对高考的影响也最大。那么艺术生如何在高考中取得满意的数学成绩呢？找到良好的复习策略是成功的关键。

艺术生的数学复习内容与文科相同，试卷也一样，满分为160分。如果学生打算报考艺术类，那么高二的数学理科选修部分就不必学了。从往年成绩来看，如果数学能考到80分，那么语数外三科总分就应该能过240分，而江苏省艺术类的本科文化录取线一般就在240分左右，因此艺术生的高考数学目标一般定为80分就可以。艺术班虽然使用文科的复习教材，但是复习时间只有文科班的一半，目标分也比文科班低很多，所以在复习的深度、时间安排、题目侧重点上又与文科班有很大的不同。

首先艺术生在数学复习中应把握好深度。江苏省数学高考试卷的难易比是1:2:4，也就是说考生只要做对全部容易题就应该能获得近100分。所以考生在复习时应以基础知识为主，简单题为主，做到全面复习、夯实基础、控制难度、提高效率。比如集合、复数、流程图、概率四部分为高考的必考题，也是高考的送分题，艺术生宜反复练习，确保不丢分；三角函数、平面向量、导数、立体几何、圆锥曲线等部分虽然高一、高二学习时有一定深度，但高考试卷中考题相对固定，建议考生加强针对性训练，学会用固定的思路、固定的解法解题，考试中做到即使失分也不多；而函数、数列、不等式、解析几何等部分为高考中的压轴题，难度大、综合性强，区分度也较大，艺术生应打牢基础，做到能得一分是一分，但题目太难就不必深究，不如腾出时间做好基础题。

其次艺术班的复习安排因为受到艺术省统考和校考的影响，与普通班级差别很大，艺术生应根据情况调整好复习节奏。艺术班的高考复习大致可分为三个阶段。第一阶段，是高二下学期至高三的九月。这一阶段艺术班的数学复习与文科班的一轮复习基本同步，可以复习完集合、函数、三角函数、向量四章。只是艺术生的精力大部分放在即将到来的省统考上，甚至许多艺术生下午不到校上课，所以练习题做得少些。通过复习学生要对高一所学知识进行回顾和更深入一步理解。第二阶段是高三的十二月至下一年的二月。艺术省统考于十二月上旬进行，此前绝大部分艺术生都忙于准备，根本不到校上课。十二月中旬，学生开始返校复习，但仍有相当多的学生要准备艺术校考，所以复习只能断断续续进行。一般说来，这一阶段能勉强完成高考一轮复习。艺考合格的学生建议立即转换角色，早日返校，将精力放到文化课学习中。第三阶段是三月至六月，恰有100天，这是艺术生最关键的100天，绝大部分艺术生已经历过各种困难，过了艺考关，只要文化课上线他们就能迈进高校的大门，所以学生们都是拼命来学习。学生不仅课堂上效率很高，课外也多参加辅导班或请了家教。因为艺术班重在夯实基础，所以这一阶段没必要跟着文科班走二轮、三轮复习的路子，而应独立进行复习。复习一般会经历再次一轮复习——基础训练——做综合试卷三个过程。再次一轮复习一定要有，这样学生才能构建完整的知识体系，知道重点、难点、考点，弥补漏洞。但要尽可能快，最迟四月中旬结束。三月底开始就要逐渐加进基础训练，目的是将知识转化为解题能力，这一过程五月初结束。从四月底开始做综合模拟试卷，目的使学生适应高考模式。三个过程既要抢进度，又要夯基础。通过这三个过程使学生能贯通高中数学基础知识，了解高考试卷形式，掌握高考解题技巧，从而在高考中稳定地拿下80分。

再者，艺术生在做高考数学试卷中要把握好 “舍得”。艺术生数学只要能考到80分就完成任务，能否完成目标关键在于是否能把该做对的题做对。那么试卷中哪些是该做的题呢？高考卷中有十四道填空题，前八题都是简单题，艺术生应该细心做全对，多花一些时间也没关系；九至十二题争取对两题，这两题有可能会拉开艺术生之间成绩；十三、十四题就不必考虑了，能争取一部分时间，小题部分由此可得到50分。大题共六题，第一题是三角函数，第二题是立体几何，这两题难度低，出题模式固定，必须做对，提醒学生要注意格式，确保拿满28分。第三大题是应用题，第四大题是直线和圆，这两题得满分不易，但通过第一问、第二问得一半分还是可以的，这样又得15分。最后两题是数列、函数、导数、不等式的综合题，难度较大，不过第一问还是可以得分的，艺术生不应放弃，这样又得10分。整张卷子，艺术生可得的合计为103分，只要合理规划，得到一个过关分数还是完全可能的。

最后，艺术生在数学复习中要把握好三个问题。第一，校考结束后尽快回校复习。如果艺术生从一月份开始复习，复习时间会有一百五十天，可以经历一个完整的复习过程，拿八十分基本不成问题，如果三月底回来，七十天的复习就起不了多少作用。第二，反复练好几个关键题。三角函数、立体几何等几个大题分值高，模式固定，做好了就会有一些基础分，反之就会丢掉三十分，高考就没有什么竞争力，所以平时训练时一定要反复练习。第三，重视计算能力。艺术生复习期间做的题比普通班少许多，计算能力普遍较弱，高考题计算量较大，艺术生常出现计算错误。因此平时复习时，要有意加强计算训练。

艺术生是辛苦的，只有艺术考试、文化考试双达线才能升入本科。同时随着人数的增加，艺术生的竞争也越来越激烈。希望艺术生都能掌握好正确的复习策略，一跃龙门，实现自己的目标。

加强试题研究，提高课堂效率

——浅议高三例题教学

黄芳 徐州市第二中学

苏北四市的高三第二次质量检测结束后，有幸聆听了本校一位老师的一节试卷讲评课，本节课主要围绕试卷的第17题的第二问进行展开，听后有些感触。

[教学片段简录]

（检测卷17题）已知位于 轴左侧的圆C与 轴相切于点（0，1），且被 轴分成的两段弧长之比为2：1，过点H（0， ）的直线 与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O。

（1）       求圆C的方程；（2）当 时，求出直线 的方程；

（1）略，答案为

师：求直线 的方程，有什么条件，缺什么？

生：有一点（0，1），缺斜率，就可以设直线 的方程为

师：斜率是否存在？

生：结合示意图能发现斜率一定存在。

师：如何求斜率 ？

学生思考片刻：可由 得到关系式

师：如何将关系式中的变量换为 的方程？如果有想法，具体操作一下。

大约十分钟后，学生们分别给出了两种解法如下（投影学生答案）：

解法一：将 代入 消 得

设 ，则

由 得 ， ，

， ，

解法二：将 代入 消 得

或 ，不妨记

以 为直径的圆恰好经过 ，

， 所求直线方程为                         

师：解法二是将交点的横坐标直接求出来，然后代入计算；而解法一则体现了“设而不求”的思想，借助韦达定理把有关式子用 表示出来，在交点坐标不易求出时具有优势，使用更为普遍，但要注意检验判别式是否大于零。这两种解法都是从纯代数的角度出发考虑，能否从图象入手呢？

    在学生思考大约两、三分钟后，无人给出解答。教师就进行了分析： ，因此直线 与圆 的一个交点就是点 ，不妨记 为点 。 直线 与圆 的另一个交点 即为圆 与 轴的交点。所以本题只需求出圆 与 轴的交点，即可得直线 的斜率，从而可得直线 的方程。

随即教师给出三个变式，让学生尝试独立解决。

[变式1]（苏教版必修二P118探究拓展）已知圆 ，是否存在斜率为1的直线 ，使以 被圆 截得的弦 为直径的圆过原点？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由。

[变式2]（盐城2008～2009学年度高三年级第一次调研考试18题）已知圆 过点 且与圆 ： 关于直线 对称，（1）求圆 的方程；

（2）过点 作两条相异的直线分别与圆 相交于 、 ，且 、 的倾斜角互补， 为原点，试判断 与 是否平行，请说明理由。

[变式3]（2009年辽宁卷文）已知椭圆 经过点 ，两个焦点为 ，（1）求椭圆 的方程；

（2） 、 是椭圆 上的两个动点，如果直线 与 的斜率互为相反数，证明直线 的斜率为定值，并求出这个定值。

对于变式一，学生在思路上没有障碍，只是花费了大约七、八分钟的时间去计算完成。对于变式二，学生普遍能够迅速获得第（1）问的答案 ，但在处理第（2）问时，遇到了“拦路虎”。

师：谈谈第（2）问的思路。

生：求 、 点的坐标，再求 的斜率，看看与 的斜率是否相等。我设了直线 的斜率为 ，这样 的斜率就为 。然后我联立了直线 的方程 与圆 的方程 ，消去 得 ，不会求 点的坐标了。

师：这个方程的两根是对应哪两个点的横坐标呢？

生：明白了，方程有一个根为1，只要借助两根之积就能得到 点的横坐标了。

师： 点的坐标呢？

生：象求 点的坐标一样联立就行了。

   师：动手试一试吧。

学生当堂练习演算变式2、变式3，教师巡视。变式3未来及处理就下课了。

[课后思考]

1、高三的例题教学不能就题讲题，要精心选择例题与习题（可选择教材上的原题、其改编题、检测试题以及高考题），将所要揭示的重要知识点与思想方法贯穿在问题之中，通过问题的解决获得知识、方法与经验。美国著名数学教育家波利亚曾指出：“一个专心地认真备课的教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”。由此可见优选的例题所体现的教学价值是多么重要。一个好的例题不仅仅能够巩固和深化基础知识的综合应用，还应当能渗透着浓厚的数学思想方法，并能提升学生的思维能力。

2、高三的习题教学是否一定要追求一题多解？是否多种解法一定要从繁到简，从通法到巧法？一题多解是为了开阔学生的思维，提高学生探索和解决问题的能力，培养学生的创新精神，使得学生在关键时刻快速地给出正确解答。教师对于一题多解不能只是简单的罗列各种方法，而忽视了对方法的分析和点评。有时最好的解法留在最后，往往会使学生先入为主，接受的反而是前面的那个不是最佳的方法，在考试时能想到的也不是最好的方法。并且最好的解法如果是在学生能够接受的范围内，或者学生只需要“跳一跳”就能“够得着”的，此种解法更不应当放在最后给出，还要给学生留些许时间去思考吸收。

3、运算上的一些技巧也应当适时渗透，以简化运算。仔细分析近几年的高考试卷，在运算上都提出了较高的要求，不只是要求学生能准确进行繁琐的常规运算，还要具备一些运算技巧，如变式2在求出 点的坐标后，不需要重复求点 坐标的过程，只要运用整体代换的思想将点 坐标中的斜率 用 替换，就可以简化运算得到点 的坐标。

4、应适时考虑对问题加以推广探究。首先教师应当对问题进行深入思考，研究获得一般性的结论 ，然后考虑是否适合和学生一起探究。如果由于高三教学时间紧，内容多，课堂时间未能和学生一起进行推广探究，可以把探究性问题留给学生，让他们课后研究，拓宽他们的视野。

变式2可以推广探究得到结论1：设 是圆 上一个定点， 、 是圆 上两个动点，若直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，则直线 的斜率为定值 。证明如下：设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立 与 消 得 ，

由韦达定理得 ， ， = 将上式中的 用 代换得 ， 直线 的斜率为 ）

变式3可以推广探究得到结论2：设 是椭圆 上一个定点， 、 是椭圆 上两个动点，若直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，则直线 的斜率为定值 ；结论3：设 是双曲线 上一个定点， 、 是双曲线 上两个动点，若直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，则直线 的斜率为定值 ；结论4：设 是抛物线 上一个定点， 、 是抛物线 上两个动点，若直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，则直线 的斜率为定值 。[1]

如何促进高三学生积极发言

徐州市第二中学   黄芳

今年接手一个高三理科班，学生的基础还算不错，思维比较活跃，在练习的字里行间与课下的交流中可以发现他们的一些好的想法，可是在课堂上，都成了“闷葫芦”，没有学生愿意将自己的想法展示出来，气氛沉闷。为了使这种不良现象得以改变，笔者努力活跃课堂气氛。

一、抓住契机，纠正错误认识

案例1：若 是偶函数，则实数 的值是       。

这是复习函数时的一道小题，很多学生的解法是利用特殊值，由 得到 ，但对于通过偶函数的定义 化简整理后，利用等式恒成立的条件求解 不够熟练，特别是其中涉及的指、对数运算。课前，基于这种考虑，我准备了如下变式：已知函数 ，若 的最大值为 ，最小值为 ，则       。意图通过此题熟练常规方法，同时借助本题提醒学生知识点“奇函数在区间 上的最大值和最小值之和为零”。在给学生充分的思考时间后，我提示学生相应知识点，引导他们考虑函数 的局部为奇函数。学生依旧维持以往的沉闷，埋头考虑和计算。在巡视的过程中，我发现两种解法。方法一： ， 是奇函数。方法二： 是奇函数。方法一是大多数学生采取的，而方法二利用知识点“奇函数和偶函数的乘积是奇函数”，并且充分利用了原题的结论，此法是一个平时成绩不太显眼的学生写出的。当该生被叫起时，其他同学似乎嗤之以鼻，而这位同学展示他的方法后，大家似乎都被“震”住了。

在学生展示优美解后，适时对学生提出问题“这个方法好不好？你想到了吗？如果没有想到，是否希望有同学和你交流类似的更好的简洁的方法？”，“通过其他同学的发言，你的思路是否更宽更广？你是否可以获得更多的知识？”…，在几次这样的“思想碰撞”之后，学生的想法开始发生转变。

二、循序渐进，逐步激励发言

布置学生做的练习，在上课前提前批改，肯定学生的解法，搜集学生不同的解法，进行汇总，在课上让这些学生进行展示。一方面可以利用一道题剖析不同的思路、探讨不同的解法，培养学生思维灵活性、发散性，能引领学生多角度、多方位、多层次地探寻解法，加强知识间的纵横联系，以达到融会贯通的目的。另一方面展示优美解的同学在其他同学佩服的眼光中获得了自信，钻研数学的劲头更足了，而其他同学学习和研究数学的热情也被点燃。

案例2：已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设 为坐标原点， 是椭圆的右焦点， 是直线 上的动点，过点 作 的垂线与以 为直径的圆交于点 ，求证：线段 的长为定值。

在检查这道题时，发现了如下几种思路。思路一：设点 ，表示直线 的斜率，通过 表示直线 的斜率和方程，进而得到 点坐标，由此表示直线 的斜率，通过 ，得到 ，故 。最后检验直线斜率不存在的情况是否适合。思路二：设点 ， 利用两个垂直 ， ，得到 ， ，两式相加得 。思路三：如图，

记直线 与直线 的交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，则 点坐标为 。在 中， ，又 与 相似，有 ，故 =2

思路一为常规思路，大多数同学都能想到的，但有部分学生怕运算，没有勇气计算下去，还有一部分学生则思考不严谨，未考虑斜率不存在的情况。思路二把直线的互相垂直利用向量数量积表示，整体代换得到结果，此法既避开了斜率不存在时的讨论，也回避了字母的大量运算。而思路三在复杂的几何图形中抽丝剥茧，利用平面几何知识巧妙地获得解答。课上当生A展示完思路二时，有的同学就在下面小声说，“这个地方老师讲过 ，我怎么没想到？”，当生B展示思路三时，同学们都睁大眼睛，集中精力听，在生B讲完时，同学们自发地热烈鼓掌。

在这样的交流中切磋，相互启迪，集思广益，开阔了视野，这种交流给同学们以动力，他们在这种交流中认识自我，改变自我，超越自我。

三、转换角色，师生互促共进

通过前两个阶段的努力，学生已经变被动为主动，对一个问题有好的解法时，会自己举手要求讲解，有时甚至会自己跑到黑板前当一回小老师，边写边讲。

案例3： 是 内一点，且 ，则

这是课上给出的一个变式，当堂练习。学生踊跃举手，居然给出了四种解法。

解法1：取 的中点 ，由条件 可得 ，作 于 ， 于 ，则

解法2：将 按照平行四边形法则进行分解，由条件可得

解法3：取 的中点 ， 的中点 ，由条件 ，即 ，则 三点共线，且

解法4：特殊化，用直角三角形建系求解。

学生在教师设置的教学活动中担任主角，就会主动参与，而不是被动接受，会把自己的真实想法及时地与大家交流，无论对与错，正确的东西获得大家的认可，错误的东西得到相应的纠正，而且此时同学们的注意力比较集中，容易留下深刻的印象。

俄罗斯数学教育家A 斯托利亚尔认为，数学教学应看作数学活动的教学，即看作某种思维活动的教学。高三的数学课堂不能是为了追求容量的一言堂，不一定是热闹的课堂，但一定要是学生思维活跃的课堂。

从2010年江苏数学高考卷谈备战高考

徐州市第二中学  黄芳

高中数学课程的目标是：使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法,提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。11年的考生应从哪几方面备战高考数学呢?

一、立足课本,形成知识网络

“工欲善其事，必先利其器”基础知识是数学的ABC，要学好数学就必须深刻理解和掌握基础知识，概念不清则推理不明，即使题目再简单也无法做对。高三复习首要的就是做好对基本概念的理解，理清定义、公式、知识点之间的联系，形成知识网络；在做题的过程中反思、回顾、完整知识网络，深化对知识网络的理解。

例如第2题“圆 的切线方程中有一个是（     ）”，题

（１）相离（d＞r)：圆上点到直线距离最远为d＋r，最近为d－r

（２）相切（d＝r）： 过圆上点（x０，y０）的切线方程为（x－a）（x０－a）＋（y－b）（y０－b）＝r２ 过圆外点的切线方程应通过d＝r求斜率k（注意：切线应有两条，如只得一个k值，另一切线斜率不存在）

（３）相交（d＜r）：求相交弦长有两法 法１：直线和圆方程联立利用弦长公式 法２：圆中特殊的三角形，得半弦长

再如第4题“为了得到函数的图象，只需把函数y=2sinx x∈R的图象上所有的点（    ）”本题考查图象变换，脑海中浮现相应知识脉络：

（1）              由y=sinx到y=Asin（）有哪两种变换方法，这两种变换方法的不同之处在哪.

（2）              高中阶段所学三类变换:

平移变换:口诀”左加右减,上加下减”

对称变换:y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称

         y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称

             y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称

           y=f(x)与y=f^-1(x)关于直线y=x对称

翻折变换:y=│f(x)│图象可由y=f(x)在x轴下方的图象关于x轴翻折到x轴上方,保留x轴及其上方图象得到.

         y=f(│x│)图象可由y=f(x)在y轴及其右方的图象关于y轴翻折到y轴左方,保留y轴及其右方图象得到.

二、高于课本，关注知识网络交汇处

数学是从客观事物抽象出来的理性思维系统，各部分知识之间必然有紧密的联系，构成一个严格的学科知识体系。高考作为选拔大学人才的重要考试，要在有限的时间内通过一定的题量分出学生水平的高下，必然要抓住知识网络交汇处设计出具有综合性的新颖题目，以达到全面考查考生的基础知识和基本技能的目标。

如第6题“已知两点M（-2，0），N（2，0）点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为(     )”有机地将向量的模、数量积与解析几何中的求轨迹方程相结合。而第15题“对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列的前n项和的公式是_{——------------}”更是巧妙地将导数的几何意义与直线和数列连在一起。

近几年，函数与导数的整合，平面向量与解析几何的整合，空间向量与立体几何的整合是考试考查的热点，在这些知识交汇处能设计出区分度很好的试题，应引起考生的注意。

三、源于课本，领悟数学思想方法

数学思想方法是数学的灵魂。它是从更高层次运用数学知识，又蕴涵在数学知识中，并能广泛应用于相关学科和实际生活中。每年的高考试卷都要考查数学思想方法。如第21题的第2问“设a为实数，记函数f（x）=的最大值为g（a）。（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）”

过程如下：本题主要考查了分类讨论的思想，首先对m（t）=是否为关于t的二次函数进行了一级分类，然后在a≠0的情况下进行了二级分类，分类依据是顶点横坐标是否在给定区间内会改变最大值的取得。

    高中阶段涉及的数学思想方法主要有：转化和化归的思想，函数、方程和不等式的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想。考生只有掌握这些思想方法，才能化难为易，在高考中取得好成绩。