几何画板助我踏上新课程改革的前沿
种明慧
新课程改革正在全国轰轰烈烈地展开，江苏省作为新课改的试点省份之一，改革走在全国的前列。新课程所阐述、倡导的全新理念也如春风吹满校园，而实践是检验真理的唯一标准。因此，课堂教学改革能否体现新理念成了课程改革的一个标尺。作为一名高中数学教师，首要的任务就是完成新课标理念与课堂教学实践的转换。让新课程扎根于课堂，那么在新课程理念下，高中数学的教材作了哪些改变，作为新课标理念的传播者与实践者----教师，又要在课堂教学中作出一些怎样的变化呢？
（一）教师不仅要改变教学方法，更重要的是转变教学理念。
以前讲高中数学老教材的时候，我有时候感觉教材很简单，备课更多地变成了一种照本宣科，上课总是想讲更多的题目让学生巩固有关概念和定理。可是教学的年龄和教材讲的遍数增多，教学的成就感越来越低，学生的成绩也不如以往。上次有幸参加了高中数学新教材培训，有个学习理论强烈震撼了我，那就是建构主义学习理论----知识不是通过教师传授获得的，是学习者在一定的情景即社会文化背景下，借助于其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资源，通过意义建构的方式获得的。所以教师在课堂上要敢于放手，让学生积极思考、大胆发表自己的看法和见解。以前的教学，更多的是以老师为主导，采用的多是“挤牙膏、填鸭式”教学，让学生的思维受到了压制。所以，我们必须转变教育观念，以学生为本，以学生的发展作为教学改革的出发点，走出一条优质高效、可持续发展的新路。
（二）教师要学会创设问题情景，激发学生学习兴趣。
对于新课引入，可以在教学中设计成问题的形式，让学生发现新旧知识的联系，并予以迁移和转化，所设计的问题要能充分展现新旧知识的联系，使问题既要建立在旧知识的基础上，使学生不感到陌生，有思考的余地，又要在此基础上向新课作自然延伸，使学生在思考中有新的发现，而这种发现又使学生自然地进入到新课状态和新课情境中来。我们在教学中主要从以下几个方面创设情景：
（1）创设产生学习兴趣的情景；
（2）创设产生认知冲突的问题情景；
（3）创设产生发现乐趣的发现情景；
（4）创设产生探索欲望的知识迁移情景；
（5）创设产生成就感的成功情景。
例如在讲解随机事件问题时，我举了一个例子创设悬念：同学们，老师有个发现，把数学课本随意翻开，一定会出现这样的事情：左边的页码是偶数，右边的页码是奇数，相信不相信？试一试。接着我又出示第二个例子：老师手中的转盘（有多块不同颜色的区域），如果将它自由转动，请你们猜一猜，当转盘停止时，指针会指向那种颜色的区域？（学生发现答案不确定。）翻书和转盘这两个事情是现实中的有趣问题，最能触及学生的情感和意志领域，自然会把学生引入随机现象之中，使学生感受到随机事件就在身边。这一问题情景建立在学生的生活现实和认知基础上，学生“跳一跳，够得着”，因而能够成为学生进入学习状态的诱因，不断地引起认知冲突，然后再根据教材中的事例展开分析，更能用好教材。
(三)恰当使用多媒体教学，增加课堂教学容量的同时突破教学重难点。
计算机辅助教学是中学数学教育现代化的一个重要标志。采用现代化的教学手段是时代的需要，更是历史赋予我们的重任。它以图文并茂、声象俱佳、动静皆宜的表现形式，展示了数学的本质及内涵，良好的改善了认知环境，大大增强了学生对抽象事物与过程的理解和感受，从而将数学课堂教学引入了一个全新的境界，所以被广泛的应用。教师上课不应该过分依赖于多媒体课件，而是根据教学需要适当使用。应把解决数学问题放在首位，让数学自身魅力放出光芒。不仅于此，还要充分认识到计算机是辅助教学，而不是教学的主宰，我们应根据内容精心制作合适的多媒体课件，使之更加贴近学生的认知结构，进而达到最佳的教学效果。同时数学课堂中如果能适时地用几何画板去展示一些数学内容，教学的效果会更佳。在07的江苏省高中数学骨干教师培训班上，南师附中的陶维林老师向大家介绍了几何画板在高中数学的应用，让大家大开眼界。最后的总结感触很深：几何画板究竟给中学数学教学带来了什么？
新大纲：现代技术的使用将会深刻地影响数学教学内容、方法和目标的改变。
更新教学手段，革新教学方法，创新教学模式；
激发学习情趣，提高教学效率，增强教学效果；
影响教学内容，改变教学观念，丰富教学理论。
（四）教师要做一名导演，让每一位学生成为闪亮的明星。
新课程教学中，教师在教学过程中始终把自己当成一名导演，做课堂教学的主导者，要在“导”字上下工夫。引导学生积极开展思维活动，激发求知欲望，抓住学生的心理特征。难点的地方让学生充分讨论，教师适时点拨拓展。做到难点突破，语言精练，方法巧妙。习题配备典型，解题方法多样，授课形式多变。课堂提问要抓住时机，要给学生思考空间，要讲求艺术地问，让学生在一问一点拨中豁然开朗，获得成功后的喜悦。要善于调动学生上课的热情与激情，使每一位学生成为闪亮的明星。
那我们对教学中的“导”字会不会也这样去理解呢？
大家知道，高中生正处于身心发育时期，与生俱来有着一种逆反的天性。他们希望尝试，他们希望创新，他们希望走出自己的路！但是，我们的教学却想方设法、千方百计地把学生的思维导入我们事先预设好的轨道，学生甘心吗？情愿吗？久而久之，这些学生还能感受到数学求知的无穷魅力吗？难怪我们的学生经常会问类似的问题：老师，为什么我这样做不行？这样做行吗？可以肯定地说：没有真正理解教师的“主导”，就不可能有学生的真正“主体”。因此，我更认同一种新的观念：教学的本质是交往，是以教师和学生都作为主体，以教学内容为中介的交往。
（五）强化师生互动，让学生在活动中学到更多的知识。
新的《数学课程标准》倡导学生应主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。课堂教学改革改变了原来死气沉沉的课堂气氛，变得活跃了。教师的教学方式，学生的学习方式都发生了根本性的变化。学生变得敢讲了，能讲了，口头表达能力有了很大的提高。课上学生动手实践、自主探索、合作交流忙得不亦乐乎，教师也陶醉于自己创造的活跃的氛围里，却常忽略了对教学本质的追求与探索。诚然，让学生“动”起来是改革的一个目的。但教师必须把握好一个尺度，要动而不乱，动静分明。在学生充分表达的基础上加以引导，并指正错误之处，分析错误产生的原因，指明纠正错误的方法，在实质上带给学生理智的挑战和无言的感动。动而不乱，动静分明才是新课程背景下课堂教学追求的理想目标。
（六）加强研究性学习活动，培养学生合作、探究的意识
改变过于强调接受性学习、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。即倡导主动、合作、探究的学习是新教材的精髓。
新的课程数学教学要求中，明确增加通过“研究性课题”使学生学会提出问题、体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力。教材还通过布置一定量的“实习作业”“调查报告”等实践内容让学生亲身体验数学活动的过程，提高他们的数学素养，以达到培养学生创新精神和应用能力的目的，这也是高中新教材改革之宗旨和目标。在新教材的知识背景下，我们特别注重研究性学习的教学，试教中主要采用了“数学作文教学法”，即指导学生进行知识总结，实际调查，数据证明等程序后，以作文（或说报告）的形式写出自己对知识的回味、反刍、体味，对知识进行再加工再创造，或者是学生本人从实际生活中观察和搜集的与课本相关知识的事例。例如在此活动中有一个学生深感城市交通阻塞和混乱情况严重，为了调查这一问题，不惜用整个周末的时间在街上统计车流情况，最后作了《用数学方法解决城市道路布局问题》一文，文中用频率统计表和频率分布折线图论证了一天中不同时间交通阻塞情况，通过道路两侧障碍物和摊点与车辆的相关散点图分析阐述了自己的观点，自行设计了许多改进意见。观点明确，立意鲜明，使得所学“统计”一章的知识得到了充分应用。
新课程的理念是；课堂教学是活动的教学，教师的作用是引导学生进行数学活动，学生通过发现、探究性的数学活动，提高了兴趣，调动了潜能，经受了锻炼，培养了能力，并在这个过程中获得了印象深刻、不易忘怀的数学结果。
教材、学生、教师构成教学的三要素。在新理念下，教材是“学材”，是在教师指导下必不可少的进行数学学习和活动的主要材料（像演戏的剧本）。
学生是主体，是数学学习和活动的主角，而不是被教师牵着走的学习机器（像演戏的演员）。
教师是主导，其作用在于组织、引导、指导、评价，这与过去在教学中搞满堂灌式的个人表演大相径庭（象演戏的导演）。
数学课程改革是一个动态的持续发展过程，我们数学教师应顺应时代发展的趋势，加强数学教学过程中的对象意识、情景意识、目的意识及评判意识，转变教育观念、提高素质修养，本着以人为本、注重个性发展的教育新思路，面向全体学生，通过恰当的教育模式和方法，培养学生的创造性思维与综合实践能力，为社会培养出具有创新精神和实践能力的复合型人才，为我们中华民族的伟大复兴作出新的贡献。万事开头难，既然我们已经开始了新课程理念下的数学教学探索，我们就应该相信自己，只要努力就一定会获得数学教育的成功。
新课程理念下的高中数学教学现在进行时，我希望通过课堂教学的不断实践，追求这样的一种境界：
让学生真正成为课堂学习的主人；
让学生充分感受数学求知的乐趣；
让学生在不断的探究和合作中发现规律；
让学生在解决问题的过程中全面提高素质！
2011年12月徐州市创新杯贰等奖
改进讲评策略，落实减负增效
徐州市第二中学 黄芳
高三数学教学是以复习迎考为目的，经常会进行测验，试卷讲评课是复习课的一种重要课型。试卷的讲评是按照试题编号顺序进行，还是打乱题号顺序进行有机整合，并经过合理的增删后再讲评呢？如何才能做到真正的查漏补缺、巩固双基、规范学生的解答，开阔学生的思路，提高学生的能力呢？
一、统计正误，针对备课
试卷进行统一批改后发到教师手中，教师首先应对填空题进行正答率的统计，根据统计好的学生错误情况确定哪些题目需要讲，哪些题目不需要讲；同时浏览试卷，分析要讲题目的错误成因；然后适当进行一题多解、一题多拓、一题多变，让学生相互讨论和动手探究，真正弄懂错误产生的根源，才能有效地避免同类型错误的再发生。
如：已知函数 ，若 ，且 在区间 内有最大值，无最小值，则 .此类型题在高三一轮复习中多次遇到，但正答率仅为69%。在讲评时可将此类型的题目进行归纳，一并给出：1、已知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则 . 2、已知函数 在区间 上最小值为-2，则 的最小值为 . 3、已知函数 在 上恰有一个最大值和一个最小值，则 的范围是 . 由这样几道相似的题目，让学生先自行思考并回答此类问题可以从哪些角度出发去考虑，教师在学生回答的基础上进行总结。
对于解答题，像填空题那样统计正答率意义不大，教师应逐份浏览学生的答卷情况，既要统计学生错误原因和书写的规范与否，也要留意学生的正确的解题方法与思路。教师所给解答题的方法不一定是参考答案所给方法，应当是教师独立思考所得到的方法，应当是学生试卷上给出的正确解答，应当是在学生错解的基础上进行修正得到的正确解答，这样更有利于学生接受。根据“最近发展区”理论，教师只有正确地认识学生现有发展水平和其潜在的发展可能，合理地组织教学，将教学建立在学生通过一定努力就可能达到要求的智力发展水平的知识水平上，并据此确定知识的广度、深度，学生才可能掌握较多的数学思想和方法，并且能灵活运用，从而在考试中取得好成绩。
二、转变角色，学生主导
学生考试成绩不好，究其原因，有学生的因素，如课后不复习，没有真正理解数学的定理、不会恰当运用公式，不能将知识点前后联系等，还有试题难度等多方面因素。其中教师的教学方式和方法是关键因素之一，往往是教师讲得口干舌燥，却收效甚微。苏霍姆林斯基曾说过：“在心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者的固有需要。这种需要在中小学生“精神世界尤为重要。”在讲评时可以采取以下策略：
（1）让填空题答案正确的学生讲自己的思路，特别是如何想到的，有时会有意想不到的简单解法。
（2）投影典型的解题错误，学生们共同寻找其中的错误，查明错误原因，能进行改进完善的进行补救工作。之后给出类似题目，让学生独立解答，以进行巩固。
（3） 投影同一道题目的多种解法，既要强调通性通法，又要突出常规技巧。学生给出的技巧性较强的解法也要提一提，并进行表扬，在鼓励该生的同时能激起其他学生学习和研究数学的热情。
（4）给出与试题相近的变式题，进行思想方法上的类比、归纳和拓展，由此帮助学生“举一反三”。
（5）对于综合性较强的解答题，在讲评时，更要注意留给学生思考的时间，给予学生发言的机会，让他们畅所欲言，提供思路，同时教师适时地给予肯定，并进行恰当的引导，使学生能从课堂中获益，感受到问题解决给他们带来的成功的喜悦和信心。
（6）适时引导学生进行反思：本题考查哪些考点？是否解决过类似问题？它们之间的联系与区别在哪儿？此类问题有没有解决的通法？有没有其他方法？有没有更简单的方法？题目能否进行变式和推广？
（7）要注重规范，强调一些书写形式：如定义域、值域、解集一定要写成区间或集合的形式；单调区间一定要写成区间的形式，区间的开闭要特别注意，断开的增（减）区间不能随便用并集连接；实际问题中单位是否统一，得出结果要标明单位，最后要写答案。
三、落实补漏，定期反馈
课上45分钟能讲到的只是重要的知识点、思想方法，以及灵活的数学运算。要使学生听懂老师所讲很容易，要想学生将其内化，并能进行应用则比较困难。教师要采取一定的策略：
（1）定期对错题进行汇总：错误率较高的填空题进行修改数据，或者是改动某一条件，进行“错题训练”。
（2）对于一些体现重要思想方法的解答题，可以过一段时间进行“原题再现”。
（3）对于一些容易在细节上出错的解答题，可以在错误细节处重新命题进行“新题考查”。
（4）近几年数学高考对于学生运算能力的考查逐步加强，教师也要有意识地进行训练，适当地渗透一些常见运算技巧。
（5）对于立体几何的判断命题真假的填空题，既要让学生掌握定理性质的内涵，也要培养学生举反例的能力；而其解答题则侧重在思路的点评与书写的规范性上。除了课上的集体讲评，还应该针对学生的具体情况，特别是证明过程的规范性可以采取“面批”的形式，进行个别交流。
（6）采取“限纸”措施：从平时要求学生控制草稿纸的使用量，规整草稿纸的使用情况。数学高考时使用的草稿纸一般为一张大白纸，而多数的学生平时一次作业（或练习、测验）的草稿纸使用量已经超过一张白纸，并且由于草稿纸上字迹潦草、重叠或过于随意，而无法合理地利用草稿纸进行正确的演算和试题的检查。为有效避免这些情况的发生，告之学生要尽量将填空题的计算步骤写在试卷该题附近的空白处，将草稿纸进行折叠，按照顺序进行解答题的演算。
设置合理铺垫，解决综合难题
——2011年江苏卷18题的探究与启示
徐州市第二中学 黄芳
就题论题、不加思考照搬标准答案的教学已不适应当前形式，新课改更关注人的发展，关注学生的情感、态度、价值观，要求遵循学生的认知发展规律，这就促使教师对试题进行思考、研究、加工和整理，再形成教案引入课堂。
一、教学过程
[基础回顾]
问题1：数列的通项 与前 项和为 有什么关系？
问题2：等差数列的定义是什么？如何用符号语言表达？通项公式是什么？
问题3：若 成等差数列，可以得到什么式子？
[基础练习]
1. 已知数列 中， ，则数列 的最小项是第______ 项。
变式： ，则数列 的最大项是第_______项
2. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________
变式：若 呢？（变式的目的是比较差异，比较是一种哲学思想，让学生在比较中获取智慧）
3. 数列 中， 且数列 是等差数列，则
前3个题目学生解答后教师：能总结一下要注意的问题吗？（让学生总结、归纳、比较，提高对解题思路、方法和细节处理的认识）
学生：第1题适当变形用基本不等式，还要注意检验等号能否成立
学生：第2题在利用公式 时，要检验 是否适合
学生：第3题要注意找准 等差的可用条件（前3题的目的旨在为下面的高考题做铺垫，降低该题的难度，增强解决高考题的信心）
[高考演练]
（2010江苏高考19）设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的等差数列.
（1）求数列 的通项公式（用 表示）
（2）设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都成立。求证： 的最大值为
（1）学生A： 数列 是公差为 的等差数列， =
学生B：将上面的式子两边平方，可得 ，再利用 进行计算，就是觉得计算复杂。
教师：你算了吗？大家一起算一遍。
大概五分钟后，学生B：计算不是很复杂，结果是
教师：还是实践出真知呀！能否再简化一下运算？
学生C：我没有把 的式子展开，而是直接代入得 ，这样就能利用平方差公式了。
教师：很好。上面这个式子其实就是
学生：那就可以直接利用平方差公式了，而且 ，运算量又少了
教师：第一问完成了吗？
学生：要求出
教师：主体工程完成了，这时一定要回头审视题目，进行细节完善。 如何求？
学生：将 代入 得 ， ， ， ，还要验证 是否适合，是适合的。
教师：请同学们回顾整个思维过程，有什么收获？能否优化解题？
学生：要不害怕复杂的计算，要有耐心算下去，不然就要想想有没有运算的技巧。
学生D：关键要求出
教师：如何求？已经有 一个关于 的式子， 至少要设法消去一个，借助于哪个条件可以得到关于 的式子？
学生通过小组讨论后，给出了求 的方法： 数列 是公差为 的等差数列， ， ，将 代入得 ，两边平方得 ， ， ，
（2）学生：由（1）得 且 ， 恒成立， 恒成立，要计算 的最小值
教师：好的，体现了函数思想。目标式涉及3个变量，下一步干什么？
学生：减少变量的个数
（思考后）学生E： ， ， ， ， ， ， 的最大值为
教师：很好，消去一个变量保留两个变量，恰好使用基本不等式，能否只保留一个变量？
（思考后）学生： ， ， ，
教师：以上两种解法通过“减元”分别利用基本不等式和二次函数配方求最值，都是从代数的角度出发的，能否从几何的角度出发？ 、 分别具有什么几何意义？
学生： 表示点 到原点的距离的平方， 表示点 在直线 上，只要算原点到直线的距离，再平方。
教师：是直线吗？注意字母的取值范围！
学生：是直线在第一象限的部分，要检验垂足是否合题意
教师：多元函数的最值问题的求解，一般有两个基本思路：一是通过消元转化为一元函数的最值问题来求解，二是整体思考，利用基本不等式求解。
（一道题三种解法对学生而言，负担明显减轻，效果明显加强，学习质量明显提高。一题多解是培养学生思维灵活性、发散性的重要手段，是数学创新教学的有效途径。剖析不同的思路、探讨不同的解法也是高三数学教学的一个重要内容。一题多解能引领学生多角度、多方位、多层次地探寻解法，加强知识间的纵横联系，以达到融会贯通的目的。
二、案例反思
1、设置梯度，突破难点：通过前3道基础题的课前练习，和课上恰当的变式训练与小结，为后面的高考题埋下伏笔，做好铺垫，确保了读完高考题能有个初步的解题方向，有信心在实际运算时，遇“繁”不惊，处“变”不乱，培养良好的心理素质。在高三的数学复习中，保持平和的心态面对综合难题，积极思考，不怕困难，勇于尝试自己解决问题，逐步完善解题过程，为规范、合理、迅速、简洁地完成高考试卷打下坚实的基础。
2、提高研究质量，合理设计教学：波利亚说过“一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。”在高三复习中，引导学生对一道典型题目从不同角度去思考，减少了一些低效的重复劳动，提升了教学效益。但也不能盲目追求一题多解，而要从学生的认知水平、知识基础、生活经验出发，缩小思维跨度，实现水平的螺旋上升。同时要注意引导学生总结各种解题方法的使用条件，（为什么用这种解法而不用其他解法，这种解法在什么情况最常用）
3、学生错误思维过程暴露不充分：师生之间的互动较多，也能留给学生思考的时间，但问题的导向性较明显，没有给学生自由发展思维的时间，只是引导学生逐步向正确的解答迈进，学生存在的错误没有及时得到纠正。心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”错误是通向成功的阶梯，应该把学生犯错的过程看成是一种尝试、积累、创新的过程。教师在指出学生错误思维的同时，又充分地肯定了错误思维中的合理成分，再能以此为出发点获得正确的解法，那么错误不会使学生消极，而是越挫越勇。
高中文科生“数学学习困难”的归因研究
徐州二中 鲍士波 宋远娜
内容摘要：高中生在进入二年级的文理分科后，数学成绩进一步分化，很多学生对自己的数学成绩不满意。本文针对高二文科生进行了“数学学习困难”的归因研究。
关键词： 归因理论 数学学习困难
高中生在进入二年级的文理分科后，数学成绩进一步分化，很多学生对自己的数学成绩不满意。为了了解本校文科班学生“数学学习困难”的归因倾向，从而使“转差”教育更加有效，笔者选择了本校高中二年级3、4两个班级的文科学生作为调查对象，共发出116份问卷，收回112份，问卷调查统计结果如下:
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当你数学考试成绩不理想时，你认为其原因是 |
A自己平时不够努力 |
B运气不佳 |
C 能力
不强 |
D 试题太难 |
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28.6% |
22.3% |
24.1% |
25.0% |
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你认为你高中数学学得不理想的原因是 |
A没有掌握好的学习方法 |
B高中数学太难、太抽象、能力达不到 |
C 自己努力不够 |
D 老师对我不关心或有偏见，使我丧失了学习兴趣 |
E其它 |
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17.9% |
26.8% |
39.3% |
7.1% |
8.9% |
根据上面的实验数据，我们可以看出：在所调查的112名文科生中，28.6%的学生会认为自己没学好是因为自己努力不够，甚至有24%的学生还将“学不好”归于自己能力不强.通过个别交流，我发现文科“数困生”在“归因不当”这方面就表现的更为突出了.于是，我便在实验班级对“数困生”展开了更为细致、全面的调查.根据美国心理学家韦纳的“归因理论” ，分析如下：
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姓名 |
影响学习行为及结果的归因分析 |
学生特点 |
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张耀文、
张柬、
邹庆虹、
苏洋 |
（1）稳定的、可控制的内因：有的内容 感兴趣，有的没有
（2）不稳定的、可控制的内因：学习不够努力，上课有时注意力不够集中
（3）不稳定的、不可控制的内因：学习有时受情绪影响. |
（1）做事情容易受情绪影响
（2）聪明，学习有灵气
（3）性格开朗，有好人缘
（4）做事缺乏恒心与毅力 |
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李婷、
徐梦璐、
张娜娜、
王旖旎 |
（1）稳定的、可控制的内因：一点兴趣都没有，缺乏自信心
（2）稳定的、不可控制的内因：认为自己没有学数学的能力
（3）不稳定的、可控制的内因：听讲、记笔记等学习方法存在问题 |
（1）性格内向，不爱说话
（2）不自信，甚至有些自卑
（3）学习很刻苦 |
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芦洁、
刘瑾、
赵冉 |
（1）稳定的、可控制的内因：一点兴趣都没有，知难而退，缺少恒心与毅力
（2）稳定的、不可控制的内因：认为自己没有学数学的能力
（3）不稳定的、不可控制的外因：运气差 |
（1）做事缺乏恒心与毅力
（2）做事毛糙，粗心
（3）做事老想投机取巧，不踏实
（4）犯错时喜欢找理由 |
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王经新
王阳 |
（1）稳定的、可控制的内因：无兴趣可言
（2）稳定的、不可控制的外因：高中内容太难，教材编写还不如老教材易懂，四周的学习氛围不好
（3）不稳定的、不可控制的外因：运气差 |
（1）聪明，但不努力
（2）犯错时喜欢找理由
（3）做事老想投机取巧，不踏实 |
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王鹏、
崔婷 |
（1）稳定的、可控制的内因：有的内容 感兴趣，有的没有
（2）不稳定的、可控制的外因：没有老师和同学的帮助 |
（1）学习很刻苦
（2）性格内向，不爱说话
（3）不独立，希望得到别人的帮助和特别的关心 |
通过以上的对文科“数困生” 影响学习行为及结果的归因调查分析，我们不难发现：学生往往把影响学习行为及结果的原因归于:①毫无兴趣②能力不强③内容太难④学习方法不当⑤运气不好(自己熟悉的内容没考，考的内容自己不熟悉) ，极少归因于努力不够.所以指导学生掌握学习行为归因技能，消除归因误差，形成良好的归因习惯和比较稳定的归因倾向，对促进“数困生”的转化工作具有重要意义.因为它能提高学生的成就动机和学习积极性，增强学生的自信心和抗挫折的能力，有利于因材施教从而有效的提高学生的学习成绩，促进学生全面的发展.我在实验班级对“数困生”主要采取以下措施：
一、在平时的教育教学中，我适时的面向全体、部分、也可能是个别，指导学生从内部的、可控制的、不稳定的因素中和外部的、不可控制的、稳定的因素中寻找影响学习行为及结果的原因.
首先，把学习成败的原因归结于自己可控制的、不稳定的内部因素，如努力程度、学习方法、知识掌握程度等，尤其是努力程度.因为把学习成败的原因归于自己是否努力，能激发成就动机，提高学习积极性，增强自信心和坚持性.强化努力要收到成效，一方面要使学生不断感到自己的努力是有效的，另一方面要让学生感到自己努力不够，还要不断努力才行.
其次，针对学生的实际情况，引导学生分析影响学习成绩的因素还有哪些，这些因素有多大影响，并尽力指出解决这些问题的方法，使“数困生”提高克服困难的勇气，增强自信心.例如，针对部分学生“学习方法”不当这个问题，我还专门组织学生召开了一次班会.
二、针对个别“数困生”我采取了分别对待、灵活处理的办法如下表:
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影响学习行为及结果的不当归因 |
措施 |
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（1）稳定的、可控制的内因：无兴趣可言 |
渗透法.在教学活动中适时点拨，巧妙引申，渗透归因指导，潜移默化的影响学生.具体之：
用多种方法培养学生的兴趣 |
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（2）稳定的、可控制的内因：缺乏自信心缺少恒心与毅力 |
①榜样法：让学习归因正确的学生谈自己在学习成功或失败时是怎样归因的.
②谈话法：通过个别谈话，弄清他们缺乏自信的原因，多鼓励，并指明学习要有恒心与毅力 |
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（3）稳定的、不可控制的内因：认为自己没有学数学的能力 |
①强化法（负强化）：对学生的消极归因，给予否定的评价，加以负强化，引导学生矫正归因误差.
②谈话法：通过个别谈话，进行归因指导 |
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（4）不稳定的、不可控制的外因：运气差 |
负强化 |
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（5）不稳定的、可控制的外因：没有老师和同学的帮助 |
①谈话法：通过个别谈话，关心这部分学生，让他们明白自己不是在孤军奋战
②结对子：本着自愿组合的原则给这部分学生在优等生中挑选“小老师” |
通过对高二文科生进行“数学学习困难”的归因研究，加强了对文科数困生的了解，掌握了他们的心理状况，使得“转差”教育更有了针对性。
附录：美国心理学家韦纳的“归因理论”
韦纳指出：个体的归因方式对其行为动机有着决定性影响.他提出了三个维度的归因模式，利用他的三个维度的归因模式，对学习行为及结果的原因进行分析：
从第一个维度分析，可以把影响学习行为及结果的原因分为内因和外因.辩证唯物主义认为，内因是根据，外因是条件，外因要通过内因才能起作用.学生是学习的主体，学生自身的内部因素，如学习态度、能力、情绪、性格、勤奋、努力等等，是影响学习行为及结果的根本原因；学习任务、学习条件、教师的指导、同学的帮助等外部因素，对学习行为及结果也有影响，有时还起着非常重要的作用.
从第二个维度分析，可以把影响学习行为及结果的原因分为不可控制的原因和可控制的原因.能力、智商(内因)、教材难度(外因)等，是学生不可控制的因素；学习方法(内因)、同学的帮助(外因)等，是学生可以控制的因素.一般说来，不可控制的因素是一种客观存在.尽管人的能力、品质、性格等具有可塑性，会因环境和主观努力而改变，但这种改变是缓慢的，需要较长时间.
从第三个维度分析，可以把影响学习行为及结果的原因分为稳定的原因和不稳定的原因.稳定的原因，如学习能力(内因)、学习条件(外因)等，具有经常性、一贯性的特点；不稳定的原因，如学习方法(内因)、学习情境(外因)等，具有偶然性、暂时性的特点.
所以，根据上述分析，可将影响学习行为及结果的原因分为8类：
①稳定的、可控制的内因，如学习兴趣、自信心等；
②不稳定的、可控制的内因，如努力、注意、学习方法等；
③稳定的、不可控制的内因，如能力、智力、健康等；
④不稳定的、不可控制的内因，如疲劳、情绪等；
⑤稳定的、可控制的外因，如教师的评价、同学的关系等；
⑥不稳定的、可控制的外因，如教师和同学的帮助等；
⑦稳定的、不可控制的外因，如教材难度、学习条件等；
⑧不稳定的、不可控制的外因，如机遇、运气等.
学生一般不能对影响学习行为及结果的原因进行全面分析，而往往只把学习成败的原因主要归结于上述某一类.心理学家研究发现，多数情况下，人们往往只把成败的原因归结于4个因素:个人能力、努力程度、任务难度、运气好坏.对于“数困生”来说，面对考试失败，他们往往归因于:①能力不强；②试题太难；③运气不好(自己熟悉的内容没考，考的内容自己不熟悉) ；极少归因于努力不够.
小组合作学习在高三三角函数复习中一例
徐州二中 张磊
摘要：三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其重点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.
关键词： 三角函数 典型题型 解题应用
一、高考三角函数考点分析。
近几年高考对三角函数部分的考查保持了三个稳定（内容、题量、分值），难度适中，其考查主要有两个方面:一是三角函数的变换，二是三角函数图像和性质。解题过程一般是先进行恒等变换，再利用三角函数图像和性质解题。实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.
对能力的考查主要是演绎推理能力、计算能力、综合应用知识解决问题的能力；体现的数学思想有化归思想、分类讨论思想、函数思想等。
考查的知识点：
1、三角函数的图象和性质是考查的重点.因为三角函数的图象和性质是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决实际生产问题的工具，而且近年来高考降低了对三角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度，从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解答题的主要题型，具有一定的灵活性和综合性.周期及对称问题仍是高考的重点.
2、三角函数的化简求值是常考题型.它往往出现在小题中，或者是作为解答题中的一小问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质.着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法.
3、考应用，建立三角模型。新教材中增设了三角函数模型的简单应用，且在课程标准中把“潮汐与港口水深”这一三角问题专门作为参考案例（在原来的教材中只是阅读材料），教材中有几处涉及到三角在物理学科中应用，如用函数的物理意义刻画简谐振动、交流电等，说明三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。显示重视三角应用的意图.融入三角形之中的实际问题也常出现。这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来倍受命题者的青睐.
4、考综合，突出三角的函数性质。由于近年高考命题突出以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常在知识的交汇点设计题.综合考察学生对三角函数恒等变换，三角函数图像和性质的灵活运用能力。
二、高考三角函数典型题型解析。
1、三角函数图像变换
图像变换是三角函数的考察的重要内容，. 解决此类问题的关键是理解 的意义，特别是 的判定，以及伸缩变换对 的影响。
例1：将函数y=sin4x的图象向左平移 个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（ ）
A、 — B、— C、 D、
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题．
分析：利用函数图象的平移，求出函数的解析式，与已知解析式比较，即可得到φ的值．
解答：解：函数y=sin4x的图象向左平移 个单位，得到 的图象，就是y=sin（4x+φ）的图象，故故选C
点评：本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，注意平移的方向，基本知识的考查题目．
2、常见的几种三角函数求值题型。
（1）、 (或 )型
基本思路：利用 (或 )即可求解，但必须注意字母 的符号对最值的影响。
例2：求函数 的最大值。
解：由于 ，所以 ，且 ，从而函数 的最大值为 。
（2）、 (或 )型
基本思路：可令 (或 ) 化归为闭区间上的二次函数的最值问题。
例3：求函数 的值域。
分析：此类题目可以转化为 型的三角函数的最值问题。
解：由于
，
令 则原式转化为：
对上式配方得：
从而当 时， ；当 时， 。
所求函数的值域为 。
(3)、 (或 )型
基本思路：可化归为 去处理；或用万能公式换元后利用判别式法去处理，特别 时，还可以利用数形结合法去处理。
例4:求 的值域。
分析：此题我们采用化归为 去处理。
解：由 得： ，
，
又由于
解得： 。
(4)、含有 的函数最值问题
基本思路：可令 ，将 转化为 的关系式，从而化归为二次函数的最值问题。
例5:求函数 的值域。
分析：由于上式展开后为： 恰好为上述形式的三角函数的最值问题。所以可令 去求解。
解：由 展开得： ，
设 ，则 ，
此时：
。
(5)、含参数型的三角函数的最值问题
基本思路：需要对参数进行讨论。
例6:求函数 的最大值。
分析：由于 的符号不确定，所以要对参数 的符号加以讨论。
解：由于 ，所以 ，
当 时，函数 的最大值为 ；
当 时，函数 的最大值为 。
2、三角函数的单调性综合运用。
三角函数是中学数学的七类基本初等函数之一,具有比较完备的函数性质,又因系统的三角公式及其变换,使三角函数问题丰富多彩、层次分明、变化多端,常与函数、三角、数列、解析几何等结合考查.
例7：设函数 ， ，
其中 ，将 的最小值记为 ．
（I）求 的表达式；
（II）讨论 在区间 内的单调性并求极值．
分析：本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．
解：（I）因为
．
由于 ， ，故当 时， 达到其最小值 ，即
．
（II）我们有 ．
列表如下：
由此可见， 在区间 和 单调增加，在区间 单调减小，极小值为 ，极大值为 ．
例8：已知函数f（x）=2cosxsin（x+ ）－ sin2x+sinxcosx
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的值；
命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力．
知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识．
错解分析：在求f-－1（1）的值时易走弯路．
技巧与方法：等价转化，逆向思维．
解：（1）f（x）=2cosxsin（x+ ）－ sin2x+sinxcosx
=2cosx（sinxcos +cosxsin ）－ sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+ cos2x=2sin（2x+ ）
∴f（x）的最小正周期T=π
（2）当2x+ =2kπ－ ，即x=kπ－ （k∈Z）时，f（x）取得最小值－2．
方法归纳：
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：
1、考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用．
2、三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
3、三角函数与实际问题的综合应用．
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用．
三、高考中三角函数的解题应用。
高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度适中，位置靠前，重点突出。考察注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。
（一）、知识整合
1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．
2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．
（二）、方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1） 常值代换：
特别是用“1”代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；
配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ= ，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定， 角的值由 确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角函数高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
方程思想在数学解题中的应用
徐州二中 张永顺
一、引入语
方程思想是数学思想的重要组成部分，在数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用．方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决．方程思想是方程概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法．
二、考试解读
方程思想是最重要的一种数学思想，考试中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多．方程思想简单，即将所研究的问题借助于建立方程，结合方程的相关知识，加以分析、转化、解决有关问题．
新课标对本部分内容的要求是：能够根据实际问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能够根据实际问题中的数量关系或变化规律，利用方程理论解决有关的实际问题．回顾近两年的考试试题,体现新课标命题改革的精神，出现了用方程或方程组解决一些综合问题的新题型.这类题对同学们的能力有更高的要求，有利于培养同学们的创新能力和实践能力．
由于实际问题的复杂性，近年来的方程组问题开始与不等式、函数等知识联系起来，在一道题中既要列方程（组），又要列不等式组，有时会与函数的知识相结合，这就增加了试题的难度，需要细心分析数量间的关系，确定选用的数学模型．预计2008年的考试试题将会继续在这些地方予以关注．
三、解题策略
具体来讲，运用方程思想，就是在解决某些数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身总量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系的一种思想方法．
传统的运用方程思想解决的问题相对来说语句简单，数字简单，类型明显，数量关系比较明确，列方程（组）比较容易．但现代的一些题目往往涉及日常生活、生产实践、经济活动、社会发展中的有关知识，并与不等式、函数、几何知识等结合起来，因此解决此类问题时，首先要耐心地阅读题目，弄清楚题目终叙述的背景知识，将知识浓缩、读“短”．同时要边阅读边思考，找到关键词语、关键数量，再借用传统问题的解决方法，如列表法、图示法等，分析这些数量之间的关系，设未知数、找到等量关系，建立方程（组）．对于求出的未知数的值，应根据问题的实际意义，检查他们是否符合题意，最终确定问题的解．
四、典例剖析
1.利用方程思想解决实际问题．
方程来源于实际生活，反过来又可以解决实际生活当中的一些问题．方程思想最普遍的应用就是解决实际问题．从实际问题中抽象出方程，建立方程模型是解决问题的关键．
例1团体购买公园门票票价如下：
|
购票人数 |
1～50 |
51～100 |
100人以上 |
|
每人门票（元） |
13元 |
11元 |
9元 |
今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人.
若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计
应付门票费1080元．
(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人．
(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？
分析：两种情况下所付费用不同，实际上不同情况下的门票费用就是不同相等关系，找到相等关系，从而列出符合实际意义的方程组，进而求解．
解:（1）∵100×13＝1300<1392，∴乙团的人数不少于50人，不超过100人
（2）设甲、乙两旅行团分别有x人、y人，
则 解得：
所以甲、乙两旅行团分别有36人、84人．
评注：注意结合表中的费用要求进行简单判断，即以哪种付费方式进行付费，否则会选择错误的付费方式进行计算．
例2芜湖供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8：00~22：00，14小时，谷段为22：00~次日8：00，10小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0．03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．
(1)问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元?
(2)如不使用分时电价结算， 5月份小明家将多支付电费多少元?
分析：相等关系是：平段电费+谷段电费=42.73元．明确各时段的付费标准，结合用电量，容易列出一元一次方程，进而求解．
解：(1)设原销售电价为每千瓦时x元，根据题意得:
．
∴当 时， ; ．
答:小明家该月支付平段电价为每千瓦时0.5953元、谷段电价每千瓦时0.3153元．
(2) (元)
答:如不使用分时电价结算，小明家5月份将多支付13.8元．
评注： 题设篇幅较长，应耐心读题，把题目读透、读“短”，最后发现问题其实“不过如此”．
2.方程思想与函数思想相结合．
函数问题常与方程（组）结合起来，当给出函数问题赋予一定的已知条件时，，函数问题就转化为方程（组）问题．此时方程（组）充当函数问题的“工具”．
例3 某学校广场有一段25米长的旧围栏（如图1中用线段AB来表示）．现打算利用该围栏的一部分（或）或为一边，围造一块面积为100平方米的长方形草坪（即图中的CDEF，CD<CF）．已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建造新围栏的价格是每米4.5元．设利用旧围栏CF的长度为x米，修建草坪围栏所需的总费用为y元．
⑴求出y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
⑵若计划修建费为150元，则应利用旧围栏多少米？
⑶若计划修建费只有120元，则能否完成该草坪围栏的修建任务？请说明理由．
分析：本问题中涉及两个有联系的变量，即旧围栏CF的长x米，与修建草坪围栏所需
的总费用y元，我们把其中一个变量y看作另一个变量x的函数，从而把问题归结为对函数
的研究，然后把相应的已知条件代入，得到有关的方程，利用方程的知识就可以解决问题，这就体现函数思想及方程思想的作用．
简解：⑴由题意，得 (10<x《25）（想一想，为什么？）
⑵由题意，得
整理，得 ， ∴ （米）
即应利用旧围栏12米.
⑶假设总费用为120元，能完成围建任务，则方程 一定有实数解．
整理，得 . 这与方程有实数解矛盾，∴120元不能完成围建任务．
评注：本例是运用函数思想及方程知识对校园工程建设作出正确的预算，具有重要的现实意义．
例4
（2007河北省）如图2，已知二次函数 的图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．
分析：此题是二次函数图像与性质的直接应用，把图像中的点的坐标直接带入二次函数式中，得到二元一次方程组或一元二次方程，利用相关知识很容易解决相应的问题．
解:（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 得
解得 ∴二次函数的表达式为 ．
（2）对称轴为 ；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m，m）代入 ，得 ，
解得 ．∵m＞0，∴ 不合题意，舍去．
∴ m=6．∵点P与点Q关于对称轴 对称，∴点Q到x轴的距离为6．
评注：数学思想不光要注重在实际生活的应用，一定程度上要注意它在数学知识内部本身的运用，注意与其他核心思想、核心知识的结合及互相补充，此题更多地考虑了这一点。
3.利用方程思想变形代数式、求代数式的值．
把等式看作是其中某个字母的方程，从而把条件变形，进而进行代数式的化简和求值．
例5 已知 ，求代数式 的值．
分析：考虑变形，把 看作方程，可变形为 ，然后把原代数式变形后再计算可使计算简便．
解: 由 得 ．
= = = =0
评注 本题也可以把x直接带入代数式中去计算，但比较麻烦．
例6 已知 ，求 的值．
分析： 可看作是关于a的方程，方程两边同除以a，变形为 ，然后把要求的代数式变形后求值．
解: 在 的两边同除以a，得 ，故 =
= = ．
评注 如果解出方程 后，再带入化简求值，会牵涉到复合二次根式的问题，计算量会非常大，并且超出教材所规定的范围．
4.利用方程（组）解几何计算题
用方程思想解答平面几何题，实质上是把几何中的“形”的问题，借助于代数中的“数”去揭示几何量之间的内在联系，从而达到解几何题的目的．
例7 如图3，在△ABC中， =14 ， =9 ， =13 ，它的内切圆分别和BC、CA、AB相切于D，E，F，求AF，BD，CE的长
分析：直接求解不容易，可结合切线长定理及所给条件，建立各个数量之间的关系，通过方程解决问题．
解：如图3，设 ，则 ， ， ，得 ，解得 ，故所求三条线段的长分别是4 ，9 ，5 ．
评注：此题也可以借助于二元一次方程组或三元一次方程组求解，也比较方便．
例8已知：如图4，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移
动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．
分析：此题是典型的动点计算问题，通过题目所给的条件，在某一时刻满足一定的相等关系，从而建立方程，达到解决问题的目的．
解:⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝(3－t ) cm．
△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
当∠BQP＝90°时，BQ＝ BP．
即t＝ (3－t )，t＝1 (秒)．
当∠BPQ＝90°时，BP＝ BQ．3－t＝ t，t＝2 (秒)．
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
⑵ 过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中，sin∠B＝ ，
∴PM＝PB·sin∠B＝ (3－t )．∴S△PBQ＝ BQ·PM＝ · t · (3－t )．∴y＝S△ABC－S△PBQ＝ ×32× － · t · (3－t )＝ ．
∴y与t的关系式为： y＝ ．
评注： 本题主要是结合函数及方程的思想方法加以解决的，特别是第⑵题中，通过求函数在某一时刻的值，利用面积的关系，确立相等关系，建立方程，从而解决了问题．相等关系除借助于面积的关系外，有时还常常利用勾股定理、相似等知识来寻求．
立新求源 ——高三复习中的基础把握二、三例
徐州二中 张磊
【摘 要】2011年11月12日《2012年江苏高考考试说明》出炉，高三一轮复习正在进行。目前的高考复习大体按照三轮进行、各有侧重、相互衔接、螺旋推进的复习模式。第一阶段复习重在回归课本，夯实基础，侧重于各个知识点的深化，力求使学生对每一知识点的理解都深入透彻、落实到位，能扫除疑难，全面过关。在复习过程中，我们应注意把握高三数学一轮复习的特点与功能定位，明确其目的与基本要求，并据此探究有效的复习方法。
【关键词】一轮复习 考试说明 基础 回归课本
随着《2012年江苏高考考试说明》的出炉，以及全省各地陆续开考的2009届一模，冲破传统考察方式的束缚，引导高三数学复习回归课本，回归基础——基本知识、基本技能、基本思想方法，基本活动经验——这一复习思路更加清晰。通过2011年10月以来省内各地模拟试题及考试说明中的典型题示例不难发现：在必做题部分A级考点29个，B级考点36个，C级考点8个中，基础比例仍然加大。比如：对立体几何试题与解析几何试题命制开始新的尝试，力求降低运算量，彰显空间想象能力和坐标思想、向量方法的考查，体现了高中数学的固有内涵，与新课标的基本要求接轨；对考题以等差、等比数列为平台，主要考察学生的类比与推理能力等。本文旨在通过这些考题中出现的相关问题，引导复习教学回归课本、重视教材、挖掘教材。
基础把握一：C级考点未必一定在难题中考查，注意基础考点的切入。
例如：2008年江苏高考13题：若 ,则 的最大值为
该题在2008年中处于填空题倒数第2题，在采用常规解法利用正余弦定理解题的思路不难发现以下问题：运算量过大、变量范围有限制等。但如果采用建系的方法则可达到事半功倍的效果。不妨以A点为坐标原点，AB所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，那么A、B两点的坐标分别为（0，0）与（2，0）。设C点坐标为( )，有题目中的
可得 ，整理后得 =8.可见C点的轨迹是以（4，0）为圆心，半径为 的圆，即C点到直线AB的最大距离为 ，进一步可解得 最大值为 。通过该题不难看出在江苏高考的出题框架下，在准确研判考点的基础之上，对圆这一C级考点的考察是比较基础的。
再如，《2012江苏高考导航》第224页，第11题：已知 、 ，那么 的取值范围
对于该题，传统方法可采用基本不等式进行求解，
解：因为 ，所以 ，即
又因为
所以 。
同时也利用 “ ”这一基本常识进行解答，相对比较简单。
首先可设 将其与 相减，可得 ，即
，因为 ，所以
又 ，所以 ，
所以 。
基础把握二：理解（B）与掌握(C)之间没有绝对的界限，基础阅读能力需要提高。
比如2011年江苏高考17题考查了最基本的在应用题中建模和解模的能力，同时培养能力渗透数学思想方法。所以，一轮复习中需切实加强以下基础能力的训练和培养：阅读理解能力、书面表达交流能力、计算能力等。
2011年江苏高考第17题：请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正 方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被 切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB= cm
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm ）最大，试问 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm ）最大，试问 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。[来源:学科网]
P[来源:Z.xx.k.Com]
[来源:Z,xx,k.Com]
该题第一问需求函数 的最大值，这种函数的最大值可利用“两个（或几个）正数的和一定时，它们的积在各个数相等时最大”，由 ；
同样，对（2）中函数 由 得 ，再掌握均值不等式之后，比较简单。
基础把握三：基本数学思想常是出题考点。
比如2010年江苏高考16题中对“点面距”的考查,虽然在考试说明中未列出这一考点，其实考查的是“转化与化归”的数学思想方法。如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离。[来源:学科网]
解析：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴ ，又 ，∴ 面 ，∴ 。
（2）设点A到平面PBC的距离为 ，
∵ , ,容易求出 ，不难发现合理利用基本的体积转换即可求得。
通过以上二、三例中难点向基础知识的转化，即可完成考察的“规定动作”，今年开始的各地模考也不例外——大部分填空题基本是对单个知识或方法的考查，人为设置多余“障碍”并不多见；解不等式、解三角形、求三角函数最值等解法均来源于教材基本方法。2009——2011三年的江苏高考试题始终在不断提醒广大我们：无论是基础年级的学习还是高三综合复习，切忌本末倒置，让高三一轮复习成为“无源之水，无本之木”。
【参考文献】
江苏省教育考试院，《2012年江苏高考考试说明》，江苏教育出版社，2011年10月第一版，P49-68
王昉，《寻本求源由惑到知—浅议高中数学新授课的教学》，《中学数学月刊》，2011 年07期
顾云良，《从苏州市高三一模考试中的学生错因分析谈起——浅议对高三总复习的启示》，
《中学数学月刊》，2011 年06期
《制作无盖的长方体纸盒》
徐州二中 张永顺
一、背景介绍
我参加了徐州市青年教育技术大赛，其中一项比赛为说课，说课课题即为《制作无盖的长方体纸盒》。我做了精心的准备，针对课题的特点，认真分析，写出了教案，同时制作了相应的课件。比赛时却出现了意想不到的问题，由于电脑显示器的分辨率达不到我课件的要求，课件竟无法演示，严重影响了说课的效果，成绩不甚理想。
而这种遗憾却在自己的课堂中得到了弥补，2个月后，我和我的学生们一起共同对这一课题进行了研究。我把教案和课件作了进一步的修改和完善，同时对上课的过程作了简单的整理，以使自己能在日后的教学中加以借鉴，教学水平不断提高。
二、内容分析
（一）教材分析与学情分析
本课题既是本章的最后一个内容，也是本册书的最后一个内容，它牵扯到的内容很多，如代数式、代数式的求值、图形的变化、展开与折叠及有关平面图形的认识等重要的内容，因此本节课既是对本册书的一个很好的总结，又可呼应开始提出的“生活数学、活动思考”的理念,同时该课题研究的内容有非常广泛的实际应用，是培养学生数学探究能力、动手能力、空间想象能力的良好题材。所以该内容占有很重要的地位，是七年级学生学习的一个重点，也是难点。
在本课题的探究过程中，要求学生具备一定的动手操作能力、空间想象能力和计算能力等，学生通过一个学期的活动，已经基本具备上述条件，同时七年级学生有思维活跃、富有激情、喜欢动手的特点，教学时应充分把握和利用这一优势，并且在学生学习的过程中，要注意培养学生的探究能力、动手能力、以及空间想象能力等。
（二）教学目标
根据上述教材分析与学生情况分析 ，结合新课程标准，我制定如下教学三维目标：
知识目标：
1、会用正方形的硬纸片制作无盖的长方体纸盒，使学生经历从实际问题—数学问题—建立数学模型—运用已有知识解决问题的过程。
2、会计算长方体纸盒的体积，学会探究长方体体积随剪去的小正方形的边长变化而变化的情况的方法。
能力目标：
1、在解决问题的实践过程中，进一步培养学生的符号感，发展学生的空间观念和推理能力。
2、通过小组交流合作，培养学生协作和探究问题的能力。
情感目标
经历将实际问题数学化的过程，体会数学与生活的关系，并通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进运用数学的自信心。
（三）教学重点、难点及关键
在确定了教学目标的基础上，我确立了如下的教学重点、难点：
重点：用正方形的硬纸制作无盖的长方体纸盒，探究长方体体积随剪去的小正方形的边长变化而变化的情况。
难点：探究并理解长方体容积随剪去的小正方形的边长变化而变化的情况。
突破难点的关键：1、安排小组交流与合作，给学生足够的探索和交流讨论的时间和空间，鼓励学生大胆猜想。
2、通过表格示意图等分析方法，建立简单的数学模型，帮助学生探究规律。
3、通过多媒体演示，增加学生的直观感受和学习的兴趣。
三、教法与学法分析
作为一名数学老师,在教学中，对学生不仅要“授之以鱼”,更要“授之以渔”即不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识以及数学方法，因此基于本节课的特点我着重采用情景教学与问题教学相结合的教学方法，通过设置一定的情景，引导学生动手操作，启发学生思考所提出的问题。
在学法方面，要充分发挥七年级学生思维活跃、富有激情的特点，组织学生动手操作、合作交流，并且鼓励学生大胆猜想，探索不同数量之间的关系，体验学习的全过程，让学生在活动中增长知识、锻炼思维，提高的各项综合能力。
四、教学用具
学生：1、收集1-2个有特色的长方体纸盒。
2、准备2张边长为20cm的正方形硬纸片
3、剪刀、胶带纸及学习工具。
教师：1、装有礼物的长方体纸盒（卡片、书签等小礼物）
2、多媒体。
五、教学过程
（一）、创设情景，导入主题。
师：同学们，今天老师给每一位同学带来了一件礼物，就放在这个盒子里，大家想不想知道是什么？（教师展示装有礼物的盒子）
生：想！
师：我们将在这节课的最后把礼物奖励给大家，但这个谜底我们暂时不先揭开。我们先来研究装礼物的盒子，它是什么形状？
生：长方体。
师：上节课我让大家收集一些长方体纸盒，哪位同学想展示一下，顺便给我们讲一下纸盒的由来、作用、以及构造，有无特别之处？
让更多的学生展示，发表自己的意见。教师强调指出纸盒的盒身和盒盖。
【主要的目的是让学生联系实际生活，学生感觉亲近、熟悉，使学生感受长方体在我们生活当中的应用，同时礼物的出现让学生产生浓厚的兴趣和探究的心理，为下一步制作长方体纸盒打下良好的基础。】
师：刚才大家的展示很精彩，通过展示，我们知道长方体纸盒在我们的生活中的作用很大，那么大家想不想也学着制作一个呢？
生：想。
师：非常好！我们就一起来学习如何制作长方体纸盒。今天我们先来制作一种简单的纸盒：无盖的长方体纸盒。
（二）、探索新知。
1、探索长方体纸盒展开图
师：首先请大家搞一下“破坏”，把你的长方体纸盒的一个盒盖剪掉，让它形成一个无盖的纸盒。
生积极动手操作。
师：在前面我们曾经学过图形的展开和折叠，同学们能不能动手把这个长方体纸盒剪开，看一看纸盒的展开图是怎样的？
学生动手操作。教师巡视指导，并注意收集有关活动信息，做到心中有数。
师：无盖的长方体纸盒的展开图到底是什么样子呢？哪位同学上台来展示一下，并把它画在黑板上？
学生展示着各种情况，并在黑板上画出示意图。教师进行归纳总结，注意不一定把所有的情况都列举出来。
【由于学生前面已学习过有关图形的展开与折叠，完成此项工作应该不成问题。】
师：老师把其中的一种情况制作成了一个动画，请同学们欣赏。
教师利用多媒体演示书上的剪裁方法。
【利用多媒体演示，重点突出书上的剪裁方法，对学生思考的方向适当控制，为下一步的制作和计算打下基础，同时使学生产生学习和探究的兴趣。】
2、动手制作无盖的长方体纸盒
师：通过刚才的展示，同学们对长方体纸盒的构造有了较深的理解，下面请同学们利用手中的白纸，结合黑板上的展开图，动手制作一个无盖的长方体纸盒。在制作的时候同学们可以讨论、交流自己的做法。
学生动手操作，并相互交流。教师巡视并给予帮助指导。
师：请同学们说一下你制作的方案？你是结合黑板上哪一种展开图制作的？基本的操作步骤是什么？
生：我将一张正方形的四个角各剪去一个大小一样的正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的纸盒。（同时展示自己的成果）
生：。。。。。
师：请同学们比较那种方案比较容易制作？
生：第一种比较容易制作，因为比较容易操作，做出来的长方体的纸盒的容积好象也较大。
师：老师把这位同学的制作方法做成了课件，请同学们欣赏一下。
让一位同学上来操作电脑。
【再次利用多媒体演示，目的还是重点突出书上的剪裁方法，对学生思考的方向再次控制，为下一步的探究打下基础。】
3、探索无盖的长方体纸盒容积变化与边长变化之间的关系。
师：同学们观察一下，用正方形的硬纸片做出的长方体纸盒有什么特点？
生：底面是一个正方形，四个侧面是全等的矩形，也可能是正方形。
师：很好。我们已知知道正方形纸的边长是20cm ,如果设其4个角上剪去的小正方形的边长为xcm（x<10）,那么同学们会不会求长方体纸盒的容积？如何求？
生：长方体纸盒的容积是v=x(20-2x)(20-2x)。
【这地方我对书上的条件进行了改动，目的是减轻难度，为下面求长方体纸盒的容积及探索容积与x的关系铺平道路，同时也与后面学习的函数建立一个初步的概念。】
师：这位同学说的非常好！但是老师发现同学们制作的纸盒有大有小，有高有矮、有胖有瘦，那是为什么呢？（教师展示不同的的纸盒）
生：那是因为小正方形的边长的不同引起的。如果。。。。。。。就会高。。。。。就会矮。。。
师：那么哪一种纸盒的容积较大呢？它由哪一个量来决定呢？
生：由x的大小来决定。
师：到底怎样来决定呢？是x越大，容积越大吗？请同学们相互讨论一下。
学生讨论后，教师鼓励学生发表自己的各种意见，引导学生猜测“无盖的长方体纸盒容积变化与边长变化”之间的关系。
师：同学们的意见不统一，我们还是动手去做一做。按照我们事先的分组，分成9个小组，第一组剪去小正方形的边长为1cm，第二组剪去小正方形的边长为2 cm，依次类推，请同学们分工协作，做完后每一组展示自己的作品，并计算出无盖的长方体纸盒容积，填在下面的表格里。
教师在黑板上设计好表格如下：
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剪去的小正方体的边长 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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长方体纸盒的容积 |
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师：请各小组展示自己的成果。
学生填表，并把各小组的成果按顺序在讲桌上排列起来。
【通过相互协作，共同交流，尝试解决问题，使学生在动手操作和展示过程中体会成功的愉悦，同时培养学生的合作能力和竞争意识。
另外，通过设计的表格，让学生通过表格示意图等分析方法，建立简单的数学模型，帮助学生能够比较清晰地找出当中所包含的关系。】
师：观察表格当中随x的变化长方体纸盒的容积有什么样的变化？
生：当x从1到3时，容积不断增大，从4到9时，容积不断减小，在x为3时容积最大。
生：。。。。
师：回答的非常好。也就是说长方体纸盒的容积并不是随着x的增大而增大，而是呈现一定的规律变化。
【自己概括出问题的结论，有利于学生在实践中感悟知识的生成过程，同时培养学生的语言表达能力。】
（三）思维拓展
1、探究能否制作出比这个容积更大的的无盖长方体纸盒
师：刚才有位同学说在上述几种情况中，当x为3时容积最大，那么你还能制作出比这个容积更大的的无盖长方体纸盒吗？
生：不能。
师：我举一个例子，如当x为3.5时，通过计算，容积是591.5，比588还大！
学生惊愕！
师：通过刚才的例子，可以看出，我们可以制作出更大容积的长方体纸盒。但我们能否制作出比这个591.5更大的的无盖长方体纸盒？有没有容积最大的长方体纸盒？这些问题我们暂时还不能解决，我们将在学完有关的知识以后解决。
【让学生再一次明确当x变化时，容积的长方体纸盒的容积是在变化的，倒决不是告诉学生存在容积最大的纸盒。
实际上当x=20/6时，纸盒的容积最大，这属于高中内容。此结论无需告诉学生。】
2、尝试用长方形的纸片制作一个无盖长方体纸盒，同时布置作业
师：再考虑一个问题：如果给你一张长方形的纸片，你能否也能制作出一个无盖长方体纸盒？如何制作？
生：可以，方法与用正方形纸片制作的过程类似。
师：课后请你用长为20，宽为16的长方形纸片制作一个无盖的长方形纸盒，并研究长方形纸盒的容积变化与剪去的小正方形的边长x变化之间的关系。
【此作业的目的是让学生复习并运用今天所学的方法，独立去体验和实践，并通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进运用数学的自信心。】
（四）归纳小结
师：谁来谈一谈，这节课你有什么收获？
（学生畅所欲言，只要是学生的真实感受就可以。）
师：大家还有什么疑问吗？
（对学生的提问，教师要尽可能给予解答；当堂不能解决的，一定要及时记录，课后解决掉。）
师：同学们这节课表现地非常好，我们基本上完成了预定的目标。现在我把礼物奖励给大家。大家喜欢吗？（把礼物分发给学生）
生：喜欢，谢谢老师！
【通过提问方式对这堂课进行小结，学生再一次回顾梳理所学知识，进一步巩固所学内容和解决问题的方法，同时教师也可以检验本节课的教学效果。】
六、教后记
《数学课程标准》强调：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”因此本课意在让学生主动地参与数学活动，并通过一系列探索性的问题及活动，让学生在掌握新知的同时，体验成功的乐趣，不断提高学生的综合素质和能力。突出表现在以下两点：
1、由贴近生活的实例引导学生动手操作，大胆猜想，不仅培养了学生的想象力和探究新知的能力，而且能让学生感到数学在生活中的价值。
2、在检测学生学习的效果时，采用同位之间交流、互相协作的方式，注重学生间的相互评价的运用，更好地激发了学生的学习兴趣，更重要的是培养了学生的创新意识和创造能力。
当然也存在着不尽如人意的地方，如由于前面的情景引入和学生动手操作的时间占用教多，后面的引申、思维拓展以及小结则略显仓促，同时也表明虽然学生很喜欢去亲身体验一些东西，而真正动手的能力却有待提高，但这正是新课程所急需要解决的难题：我们的学习重解题能力，忽视动手和操作能力。我觉着作为一名教师有责任去改变这一现状，这条路应坚定不移地走下去！
