对《映射》教学的思考
徐州二中 鲍士波
近日笔者参加江苏省2008年高中数学课程改革研讨暨教师培训会 ，聆听几位江苏名校的青年教师的研究课，感触颇多，现就 《映射的概念》一课发表一些拙见。
1、课堂实录
情景：通过名字的重要性引入人名与代号的对应关系。
教师：人名与代号有怎样的对应关系？
学生1：每个人与一个代号对应。
学生2：两个人对应同一个代号。
学生3：一人与多个代号对应。
学生4：有人没名字
学生5：有名但无人与之对应。
教师：多个人用同一个名字
(1) (2) (3)
(4) (5)
教师：人名与代号的对应关系实际上就是集合之间的对应关系。他们各有什么特点哪？
教师：1中一个元素对多多个元素 ，简称一对多；2中多对一；3中一对无；4中多对多.
教师：同学们能举出生活中的对应情况吗？
学生活动：学生例举生活中的对应，人与影子，一个妈妈有100个孩子，一辆车有一个车牌号，等等。
教师构建数学：我们知道人到法定年龄后只有一个名，上面5个对应中哪些具有这种特点？我们将1、2两种对应称为“映射”。
教师：1、2有何共同的特点？
学生1：B中元素在A中可以有多个元素与之对应。
学生2：B中有元素在A中无元素与之对应。
学生3：A中元素在B中找到唯一的元素与之对应。
教师：能否给映射下个定义？学生。。。。。。。。（学生感到困难）
教师给出定义：一般地，设 ， 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于 中的每一个元素，在 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合 到集合 的映射，记作
教师：怎样判断对应是否为映射？给出练习（略），让学生判断对应是否为映射。然后由学生归纳映射的特点：可以一对多、多对一，A中元素都参与，对应元素都唯一，以及方向性.
练习2：（书后练习1）明确函数与映射的关系。
小结：本节课学习了映射的概念，判断方法，方向性，映射与函数的关系，谢谢同学们的配合。
2、反思
本节课中，教师通过自我介绍给学生提供了一个人与姓名的对应关系的问题情境，启发学生例举生活中的实例，逐步构建映射的概念。教师在教学中体现了高超的教学机智，较好的完成了教学任务。
从教学过程来看，教师是想通过生活中的实例引导学生自己构建映射的定义，但在教学实际中，虽然学生在教师的帮助下对各种对应做出了详细的分析，但当老师请学生自己给映射下定义时却产生了很大的困难。学生为什么会产生困难？可以避免吗？本节课还可以怎样设计？带着这些问题笔者进行了如下思考。
2.1对函数－映射的教学顺序变化的分析
普通高中数学课程要求“教学要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”。
旧教材的教学顺序是映射——函数，是从一般到特殊的教学方式，即先讲解映射的概念再讲解函数的概念，比较的抽象。但是，这样可以让学生更深刻的理解函数的本质，掌握近代函数概念的本质：函数是非空数集到非空数集的一种映射，函数是一种特殊的映射。事实上，从数学的发展史上来看，是先有函数，再通过函数概念的不断扩张，得到了更一般的对应关系——映射，因此映射比函数更抽象。 新教材采用了函数——映射的教学顺序，与旧教材的映射——函数教学的顺序安排相比，即先特殊再一般，其目的是考虑与初中知识的衔接，同时更符合学生的认知规律。更利于学生对知识的理解和掌握。
从以上对映射——函数教学顺序变化的分析来看， 新课标对“映射”的定位就清楚了，即要使初中、高中函数内容自然衔接，有利于学生逐步加深对函数概念的理解。
2.2怎样进行映射教学才更有效
在本节研究课中，教师通过“人与姓名的对应关系”这一问题情境，启发学生例举生活中的各种人与姓名的对应实例，引导学生发现不同对应的特点。教学过程风趣，教师语言幽默，应该说充分调动了学生的积极性。可以看出，学生在教师的帮助下想努力建构映射的定义，但学生在构建映射定义时还是遇到了很大的困难。能否让学生学的更轻松一点吗？
根据奥苏伯尔有意义学习理论，概念学习要合理运用同化心理过程。新概念的获得依赖原有认知结构中适当概念,通过新旧知识相互作用,即新旧意义的同化,使新的概念获得得以实现。学习完函数的概念后再学习映射，这实际上是一种上位学习（当学生学习一种包摄性较广,可以把一系列原有概念从属于其下的新命题时,新学习的内容便与学生认知结构中已有概念产生了一种上位关系。上位概念一般概括性高,也较抽象,教学中如直接切入则不利于学生的理解和掌握）。
在经过前面函数的概念学习后，学生已经掌握了函数的定义：设A,B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 ，使对于集合A中得任意一个数 ，在集合B中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数。记作： ，其中 叫做自变量， 的取值范围A叫做函数的定义域。与 的值相对应的 （或 ）值叫做函数值。函数值的集合 叫做函数的值域。我们只要将定义中“A,B是非空的数集”变为“A,B是非空集合”提出要研究的问题，即可引出新课。然后让学生自己举出符合这种要求的对应实例，引导学生通过对自己所举的实例进行再观察、再分析、最终归纳和概括出映射的概念。通过映射意义的构建过程，学生也能理解映射是函数的推广，函数是映射的特殊情况，从而加深学生对函数概念的理解。
2.3映射概念教学再设计
一、问题情景：
我们已经知道，函数是建立在两个非空数集A,B之间的单值对应，请同学们判断下列对应是否为集合 到集合 的函数：
={高一3班的学生}， = ，
二、学生活动：
（学生讨论。。。）
问题1：函数是什么？
问题2：上述问题中哪一点不符合函数的概念？
（提问学生。。。）
结论：函数概念中对集合 ， 要求是非空数集，而上述问题中集合 的元素为学生，仅这点不符合函数概念。
问题3：就因为这一点不满足函数概念而被函数家族拒之门外，这是否有些可惜啊？你能否举些类似的例子？（从生活中，数学中找）
（学生讨论。。。）
如：（1）高一（3）班的每一位学生都有唯一的学号与之对应；
（2）高一（3）班的每一位学生都与其座椅对应；
（3）江苏省每个县级市都有唯一的电话区号；
（4）数轴上的每一个点都有唯一的数与之对应；
（5）坐标平面内每一点都有唯一的有序实数对 与之对应。
三、数学建构：
既然现实世界和数学世界都存在大量类似的单值对应，但又不是函数，我们就有必要研究它，给出一个具体的、明确的概念——映射。怎样给映射下定义哪？
（学生讨论在函数定义的基础上尝试给映射下定义）
定义：一般地，设 ， 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于 中的每一个元素，在 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合 到集合 的映射，记作
（例题以下略）
2.4关于映射的思想价值的思考
高中数学课程的目标要求学生具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。 课程标准对映射的概念定位是“了解”，要求比较低。因此，平常的教学中很多老师不给予太多的关注，有的老师仅仅让学生读读课本，然后告诉学生映射是函数的推广，函数是映射的特例就算完成了教学任务。但笔者认为，映射除了完成帮助学生进一步理解函数的任务之外，我们还可以再挖掘一下其数学思想价值。映射在数学中的应用很广泛，我们可以介绍给学生其中较简单，也较常见的一种-----映射在分类中的应用。 如（张景中院士著的《漫话数学》中的一例：
“中国象棋盘上有一匹马，跳2001步，能回到它的出发点吗？”
如果不具备一定的数学才能，也许你要具体地去试试这2001步的各种跳法吧！数学上可以计算跳法的总数是一个非常巨大的数字，任何人在有生之年是不可能把所有的跳法一一试完的。如果运用数学中的分类方法，这个问题再简单不过了。如图所示：把棋盘的交叉点交替的染成黑色与白色，按照中国象棋的约定，马走日字，从白只能跳到黑，从黑只能跳到到白。这样跳两步不变色，跳一步变色。2001是奇数，如从黑点出发跳2001步只能跳到白点，因此不可能跳到原处。这是一个从表面看起来很复杂的问题，运用映射的方法，把马步的落脚点映射到黑点或白点上（分两类！），就把问题顺利解决了。
把映射运用到分类中，在数学中可以解决很多问题。如同余理论，抽屉原理等应用非常广泛的数学理论就是映射（观点）在分类中的灵活运用。
从江苏五年高考试卷看向量的复习
徐州二中教科室 吴杞霄
关键词：向量 高考试卷 高考复习
摘要：今年江苏高考数学试卷向量题得分较低，学生感觉向量的复习并不得法。本文从分析江苏五年的高考卷入手，探求向量的试题特点，并对今后的高考向量复习给予建议。
每年江苏的高考数学试卷基本可分为送分题、抢分题和神仙都不会做的题。向量部分一向被看成送分题。但今年不少考生却抱怨向量复习了一遍又一遍，高考中却依旧没有拿到分，向量几乎成为事倍功半的代名词。向量真的难以复习吗？还是复习的着力点不对呢？让我们翻开江苏五年的高考试卷找找答案吧!
江苏自课改后共进行了五年高考，五年的试卷都有向量，但考试难度却是渐进提高。08年江苏高考，向量只有一个题目“已知向量 和 的夹角为 ， ，则 ”这是一个考察向量的数量积的题目，出奇的简单，只要代入公式就可以了，不需要任何变化。
09年向量出了一大一小两个题，小题仍是数量积，大题是综合第一题，题目为“设向量 （1）若 与 垂直，求 的值；（2）求 的最大值;（3）若 ，求证： ∥ .”“这一题貌似问的很多，又涉及向量的平行、垂直、数量积、坐标等知识，还和三角函数综合在一起，分值也增长了近三倍。但略一思考就发现题目还是在套公式，三个小题难度都不大，而且小题之间互不影响，多数学生还是能得到满分。
转折出现在2010年，这一年江苏高考卷特别难，有的学生只做到第8题就做不下去了。向量只考了一个大题“在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)，（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长，（2）设实数t满足( )· =0，求t的值.” 现在看来这是一个中等难度题，第一问先算向量的加减，再由坐标求向量的模，第二问考的是向量的坐标运算和数量积。可当时因为大家都习惯了向量的简单题，由于考点骤然增多，而且几个考点合在一起关联度很强，难度加大不少，不少学生做不出来。
或许10年的题目出得难了一些，11年的考题做了调整，向量只考了一个中等小题。“已知 是夹角为 的两个单位向量， 若 ，则k的值为 ”这一题考察了向量的数量积与垂直问题，只需先求 ，再利用 就可以求出k值，学生们又拾回了信心。
正当大家松了一口气时，今年全国闻名的“数学哥”葛军又回来了，这一次他又出手不凡，一大一小两道向量题具有超强的杀伤力。小题是这样的“如图，在矩形ABCD中， ,点E为BC的中点，点F在边CD上，若 ，则 的值是 ．”
这道题有两种方法。一种建立坐标系，以A为原点，则B( ,0),设F(x,0),利用 ，求得F点为DC的中点，从而 ，但这样做，好多学生想不到建系，；另一种利用向量的加减法将向量转换，即将所求的 向 、 和 转化，也就是 ，这种方法在高考练习中出现的较少，复习的也不到位，即使有学生想到这种方法，也未必做得出。大题是15题“在 中，已知 ．（1）求证： ；（2）若 求A的值”第一问利用向量的数量积将其变形为三角函数，并不难，第二问三角函数难度较大，好多人做不出来。
从五年的分析不难看出，向量的考查难度确实在逐步加大，新题型也不断出现。高考复习时同学们常会遇到向量的许多偏题、怪题，如果眉毛胡子一把抓，平均使用力量，那就真的是事倍功半了。但如果从试卷中我们可以总结出几个规律，则能为高考复习带来帮助：
首先，抓牢一个必考知识点：向量的数量积。这是向量部分唯一的“C”级考点，五年高考试卷都可见到它的影子，估计以后的高考试卷一定还会考。复习时一定要把握好，不仅数量积的公式 本身要记牢，而且公式放到三角形、矩形的环境中也要会用。
其次，重视三个常考知识点：向量的平行与垂直、向量的坐标、向量的模。，在五年的试卷中，平行与垂直出现了四次，坐标出现了三次，模出现了两次，这三个都是向量的核心知识点，以后的高考估计还会再考，而且可能会综合在一起考，希望复习时要多安排练习。
再者，把握向量考察的两个趋势。（1）向量与三角函数相结合。现在江苏卷的大题第一题往往是以向量作为条件，引出三角函数问题。比如“已知向量 =（sinθ，-2）与向量 =（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，π/2） （1）求cosθ和sinθ （2）若sin（θ-β）= /10，0＜β＜π/2，求cosβ。”这种题融合了向量与三角函数的知识，向量虽不难，但如果向量做错则三角函数也就报销了。（2）向量自身的加减转换。比如“△ABC中，∠BAC= ,AB=2,AC=1,D是BC上一点，DC=2BD,则 = .”这样的题就是把所求向量利用加减法向已知向量或垂直向量转化，从而利用向量的特殊性解出结果。这类题出现的时间不长，但现在很流行。有些学生不知道转化成哪些向量，有些学生不熟悉向量的加减法，所以这类题已成为向量的难点，也应成为复习的重点。
最后，有三类题不考，复习时可以淡化。一是不考偏题，比如复习时有关单位向量、零向量有很多概念题、技巧题，学生记不住就会错，但高考中基本就没见过这样的题。二是不考计算量大的题，向量题侧重于知识与方法，计算一般都不长，五六步即可出结果。三是不考陷阱，向量复习题中是有一些陷阱的，比如“ =(1,m), =(2,4),若a与b的夹角是锐角，求m的范围。”这个题好多学生总忘记排除 与 共线的情况，是易错题，但这样的题高考也从未考过。
综上可以看出向量在复习阶段一要打好基础，向量的加减、向量的坐标、向量的平行与垂直、向量的数量积是向量复习的重点，一定要公式清晰，运用灵活。二要结合向量的考试趋势加以复习，多做向量与三角函数结合的题目，还有向量的图形转化类题目，目前这两类题目复习题还不太多，希望大家遇到了就不要轻易放过，不但要研究题目，更要研究思路。三是对于大量繁琐的计算题、易错题了解即可，不必深究，向量只考中等难度题，偏题、怪题不考。
总之，如果大家在向量复习中要详略得当，如果能注意到这两重点、一忽略，向量复习起来相信就不会那么累了。
高 考 辅 导 热 的 背 后
——点评高考辅导现状
徐州市第二中学 吴杞霄
关键词：高考 辅导 现状
摘要：高考辅导逐渐成为普遍现象，学生、家长选择什么样的辅导才合适呢？结合对高三学生的调查，本文从家教形式、家教老师、家教教法三方面加以评析，希望为高三的学生、家长擦亮眼睛。
六月是属于高考的季节，硝烟还未散去，新一届的学子又被推上了风口浪尖，进入了准高三状态。绝不能让孩子输在终点线上，家长们除了喊口号，更要付出行动，干什么，赶紧找家教！
家教有多少，看看学校门口发了多少传单就知道。最近的一则报道称高三考生备考成本30年涨8万倍，不少学生2012年备战高考的成本一年已达到4万元。在这4万元中，占到其中半数以上的是家教费。作为一名执教高三多年的一线教师，我感到学生家教人数确实在逐年滚雪球。据我粗略统计学生经常在校外补课的约占总数的70%，艺术班中绝大部分学生都在校外参加辅导，甚至许多艺术生为了参加校外培训，连学校的课都不上了。暑假才开始，大部分新高三的家长就忙着帮孩子寻找培训班。首选是数学，继而是英语、语文，艺术生则要参加艺术集训。看看假期中满大街背着书包急匆匆赶去上课的学生，谁都知道现在高三家教已经是一个回避不了的普遍现象。如果不家教，似乎家长们就没有尽到责任，孩子们也将失去成绩提高的救命稻草。为了请到好老师，有的家长不惜请客送礼，甚至有的一次就预付了半年的学费。
那么高三家教的现状又怎样呢？高三家教真的是灵丹妙药吗？怀着这些疑问，我对刚毕业的高三学生进行了一些调查，得到了一些真实的情况，希望能对高中，特别是准高三的同学及家长有所帮助。
高三家教从类型上大致可分为三种：小班上课、家庭辅导、一对一。
小班上课往往是主办方在校外租用教室，聘请一些教师授课，一个班十至三十人。上课形式与学校授课基本相同，以讲为主，也有练习。因为学生多，老师很难照顾到全体，师生互动较少，所以教学针对性不强，只讲一些老师认为该讲的东西，比如课堂知识的加深拓展，或者是一些竞赛题。利于培优，而不利于补差。但因为小班上课是家教中费用最低的，所以也是学生参加培训最多的一种方式。
家庭式补课是由教师在家里带三到六名学生，针对学生情况教师编写讲义，有练习、重辅导，辅导时会顾及每一位学生。教师一般具有丰富的专业知识，注重因材施教，尽量做到拾遗补差，教学效果会更好一些。当然费用也会更高一些，但普通家庭仍可以承受。
一对一家教是许多教育机构主推的项目，简单说就是一个老师一个学生，缺啥补啥，在许多大城市相当普遍，高三的家长们似乎也格外喜欢，觉得花的钱多，效果就一定好。但教育机构为了降低成本，普遍用在校大学生作为教师，这些临时教师解题能力还可以，不过对于知识结构、重点、难点把握不住，容易犯就题论题的毛病，所以教学情况因人而异，对于后进生还可以吧，对于高三的好学生却常常伤不起。
家教的成败在于老师，重点中学的老师总是家长们争抢的对象。满街的宣传中好像都是名师呀，骨干啦，真的吗？不可能，哪有这么多名师。学校明确规定在职教师不许带家教，轻则警告，重则开除。教师本身的工作压力、精神压力都大得很，空闲时间却少得很，能真正从事家教的在职教师比想象的少得多。
那么那些众多的“资深骨干教师”又是谁呢？
一部分是退休教师，他们业务精，善管理，负责任，教学效果也是很好的。可是近五年来，教师退休的高峰已过，大部分退休教师已是七旬老人，教学上也已是有心无力，能从事家教的并不多。
家教的主力是他们——代课教师。这是一个特殊的群体。五六年前，各中学因为退休教师太多，招聘了许多青年临时代课教师，不给编制，只签临时合同。后来由于年龄、编制、待遇等原因，大部分聘用教师离开了学校，转而进入了家教领域。因为本身学的就是师范专业，又有实际的教学经验，还和学校保持着许多联系，最重要的是有充足的家教时间，所以他们很快就成为家教市场的主力军。因为当过老师，他们通过以前的同事介绍过来学生;因为当过老师，他们了解学生，补起课来能够有的放矢；也因为当过老师，他们更珍惜眼前的工作，能做到随叫随到、有问必答。但是——现在他们还太年轻了。教师不是吃青春饭的职业，一位高三教师的培养至少要十年的时间。或许将来他们会成为很好的家教老师，但现在做高三辅导还嫩了点。有一位同学，高三经历了五六位这样的“名师”，也未开窍，直至高考名落孙山。
还有一部分家教老师是在校大学生（研究生）。虽然它们有热情、有精力，但是教材不熟，教学经验欠缺，面对考试的各种陷阱浑然不知，有时甚至还会把社会上的不良风气带给学生，所以他们基本不具备高三辅导的能力。可是辅导班为了降低一对一家教的成本，大量雇佣这样的“童工”。机构虽然收了大量的学费，给他们的报酬只有1/4，“童工”们为了多赚出场费，减少了备课时间，辅导成效可想而知。
由此可见，辅导是良药还是稻草关键在于辅导老师，希望家长们擦亮眼睛，谨慎选择，不要赔上夫人又折兵。
除了教师外，重要的就是辅导方法了。根据以往高三学生经历，好的方法有很多。比如通过大量的例题，在深度上挖掘，在广度上扩展；或者讲练结合，先做试卷，再在对问题进行讲评，纠错；或者先答疑解惑、拾遗补缺，再安排做近期的练习，使学生领悟还未发觉的解题方法与解题陷井……
但有两种辅导方法却是害人的。某些辅导老师图省事，把学校中将要考试的试卷提前拿给学生做，再把答案告诉他们。我班里就有几位学生参加了这样的培训，表面上校内测验学生次次优秀，其实什么都没掌握好，这样的家教白白耽误了孩子，高考必定一塌糊涂。另一种辅导教师只讲题，不讲方法，功夫只停留在表面，长期以后孩子养成依赖的毛病，题题等着家教老师，遏制了学生独立思考的能力。
最后，家教的定位要明确。再好的家教也只是课内知识的有益“补充”，不能反客为主，更不能取而代之。学生好比是花，学校的复习是土，校外辅导则是肥。极少数家教老师为了多赚家教费，极力鼓动学生多参加课外辅导，甚至放弃学校学习，学生的复习变得毫无章法，结果只能丢了西瓜捡了芝麻。
从近期看，高考辅导热有一定的社会基础，还会一直持续下去，乱象也会依然伴随存在。希望家长们擦亮眼睛，不要只听宣传，还是要多比较、多思考，为孩子挑选到适合的高三辅导。
